A B. 4027. feladat (2007. október)

B. 4027. Oldjuk meg az

egyenletet.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Ha x=1, akkor mindkét oldal értéke 1/6, x=2 esetén 1/3, x=3 esetén pedig 1/2. Ez a három szám tehát megoldása az egyenletnek. Megmutatjuk, hogy ezeken kívül más megoldás nincs. Ha az x valós szám kielégíti az egyenletet, akkor megoldása a négyzetreemelés és a nevezőkkel történő beszorzás után kapott

36(6-x)(x²+1)²=(11x-6)(x²+11)²

egyenletnek is. A szorzásokat elvégezve, rendezés után a

p(x)=47x⁵-222x⁴+314x³-564x²+1367x-942=0

ötödfokú egyenletet kapjuk. Mivel ennek x=1 megoldása, p(x)-ből az x-1 gyöktényezőt kiemelhetjük:

p(x)=(x-1)(47x⁴-175x³+139x²-425x+942).

Ha tehát x1, akkor

q(x)=47x⁴-175x³+139x²-425x+942=0.

Mivel ennek az egyenletnek x=2 és x=3 is megoldása, az x-2 és x-3 gyöktényezőket is kiemelhetjük:

q(x)=(x-2)(47x³-81x²-23x-471)=(x-2)(x-3)(47x²+60x+157).

Így ha x sem 1-gyel, sem 2-vel, sem pedig 3-mal nem egyenlő, akkor 47x²+60x+157=0. Ennek a másodfokú egyenleteknek viszont nincs megoldása, hiszen diszkriminánsa, 60²-4^.47^.157 negatív.

Statisztika:

196 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	122 versenyző.
3 pontot kapott:	44 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai