 |
A B. 4345. feladat (2011. március) |
B. 4345. Bizonyítsuk be, hogy bármely hét különböző pozitív egész között van három olyan, melyek közül bármely kettő legnagyobb közös osztója ugyanannyi maradékot ad hárommal osztva.
Javasolta: Kiss Sándor (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az állítás nyilvánvaló, ha a számok között van három olyan, amelyik osztható 3-mal, ekkor ugyanis ezek közül bármely kettő legnagyobb közös osztója 0 maradékot ad 3-mal osztva. Ellenkező esetben a számok között található 6 olyan, hogy legfeljebb az egyikük osztható 3-mal. Ez azt jelenti, hogy ezen 6 szám közül bármely kettő legnagyobb közös osztója vagy 1, vagy 2 maradékot ad 3-mal osztva; a lényeg az, hogy csak kétféle maradék léphet fel. Legyen a 6 szám közül az egyik \(\displaystyle a\). A fennmaradó 5 szám között található 3, mondjuk \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) úgy, hogy \(\displaystyle (a,b)\), \(\displaystyle (a,c)\) és \(\displaystyle (a,d)\) ugyanolyan maradékot adnak 3-mal osztva. Ha a \(\displaystyle (b,c)\), \(\displaystyle (b,d)\) és \(\displaystyle (c,d)\) legnagyobb közös osztók közül valamelyik, mondjuk \(\displaystyle (b,c)\) is ezt a maradékot adja, akkor \(\displaystyle a,b,c\) megfelelő hármast alkot. Ha nem, akkor \(\displaystyle (b,c)\), \(\displaystyle (b,d)\) és \(\displaystyle (c,d)\) biztos egyforma maradékot ad, és ekkor \(\displaystyle b,c,d\) alkot megfelelő hármast.
Statisztika:
51 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Ágoston Péter, Baráti László, Beleznay Soma, Bogár Blanka, Csernák Tamás, Csörgő András, Czipó Bence, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Géczi Péter Attila, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Hartvig 147 Dániel, Herczeg József, Janzer Barnabás, Kabos Eszter, Kenéz Balázs, Maga Balázs, Máthé László, Mihálykó András, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Schultz Vera Magdolna, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Weimann Richárd, Weisz Gellért, Zelena Réka, Zilahi Tamás, Zsakó András. 3 pontot kapott: Homonnay Bálint, Kiss 666 Péter. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai