 |
A B. 4437. feladat (2012. március) |
B. 4437. Szerkesszünk háromszöget, ha adott köré írt körének és valamelyik két hozzáírt körének a középpontja.
(4 pont)
A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Megtartva a februári B. 4428. feladat megoldásának jelöléseit, feladatunk az Oa,Ob pontok és az ABC háromszög köré írható k kör O középpontjának ismeretében megszerkeszteni az ABC háromszöget. Ahogyan azt az említett feladat megoldása során láttuk, az OaObOc háromszög olyan hegyesszögű háromszög, melynek talpponti háromszöge ABC, Feuerbach-köre pedig k. Ezért egyrészt az O pont az OaObOc háromszög belsejébe kell essen, tehát nem eshet az OaOb egyenesre. Másrészt a k kör az OaOb szakaszt annak F felezőpontjában és a C csúcsban metszi (vagy érinti, ha a két pont egybeesik). Az Oa,Ob pontok ismeretében megszerkeszthetjük az F pontot, majd az O középpontú OF sugarú k kört, és végül a C csúcsot is, feltéve, hogy az O pontnak az OaOb szakaszra eső merőleges vetülete közelebb van az F ponthoz, mint az Oa,Ob pontok bármelyikéhez, ez ugyanis annak szükséges és elégséges feltétele, hogy a k körnek az OaOb egyenessel alkotott második metszéspontja (vagy érintési pontja) az OaOb szakasz belsejébe essen. Ezek után megszerkeszthetjük az OaObOc háromszög köré írható k′ kört is, tudván hogy ez áthalad az Oa,Ob pontokon, sugara pedig kétszerese a k kör sugarának. Ennek szükséges feltétele, hogy az OF szakasz kétszerese ne legyen rövidebb az OaOb szakasz felénél. Sőt egyenlő sem lehet azzal, mert akkor az OaOb szakasz átmérője lenne a k′ körnek, és így az OaObOc háromszög nem lehetne hegyesszögű. Vagyis teljesülnie kell a 4OF>OaOb feltételnek is. Ha ez teljesül, akkor a k′ kör felvételére elvileg két lehetőségünk van, ezek közül azt kell választanunk, amelyikben a k′ kör középpontja az OaOb egyenesnek ugyanarra az oldalára esik, mint az O pont, ellenkező esetben ugyanis O nem eshetne a hegyesszögű OaObOc háromszög belsejébe. Az Oc pontot az OaOb szakaszra C-ben állított merőlegesnek k′-vel alkotott metszéspontjaként kaphatjuk meg. Elvileg erre is két lehetőségünk van, de ahhoz, hogy az OaObOc háromszög hegyesszögű legyen, a hosszabbik OaOb íven lévő metszéspontot kell választanunk. Az így megszerkesztett OaObOc hegyesszögű háromszög magasságvonalait megszerkesztve megkapjuk annak ABC talpponti háromszögét.
Ha a megoldás során megfogalmazott szükséges feltételek teljesülnek, akkor ilyen módon egyértelműen megszerkeszthetjük az ABC háromszöget, amely egyben megoldása is lesz a feladatnak. Valóban, ha az ABC háromszög a hegyesszögű OaObOc háromszög talpponti háromszöge, akkor az Oa,Ob,Oc pontok éppen az ABC háromszög hozzáírt köreinek középpontjai. Az OaObOc háromszög Feuerbach-köre áthalad a C és F pontokon, sugara megegyezik a k körével. Ezért meg kell egyezzen a k körrel, hiszen annak középpontja az OaOb egyenesnek Oc-t tartalmazó oldalára esik. Ebből pedig következik, hogy k tényleg az ABC háromszög köré írt kör.
Statisztika:
69 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Ágoston Tamás, Biri Eszter Daniela, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Maga Balázs, Mester Márton, Schwarcz Tamás, Szabó 777 Bence, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Viharos Andor, Weimann Richárd, Zilahi Tamás. 3 pontot kapott: 44 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai
|
|