A B. 4551. feladat (2013. május)

B. 4551. Az ABCD szimmetrikus trapéz AB alapján P az a pont, amelyre AP-BP=AC-BC. A P-ben AB-re állított merőleges a CD, AC és BD egyeneseket rendre a Q, az R, illetve az S pontban metszi. Legyen k₁ az a kör, amely az AC és BD egyeneseket az R, illetve az S pontokban érinti, és legyen k₂ a PQ átmérőjű kör. Mutassuk meg, hogy k₁ és k₂ érintik egymást.

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. június 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Rajzoljuk meg a trapéz körülírt körét, továvvá az ABC és a BCD háromszögek beírt köreit. Vegyük fel a PQ és a BC egyenesek metszéspontját.

Megoldás (vázlat). Legyen k a trapéz köré írt kör, és F a k rövidebbik BC ívének felezőpontja. Legyen a PQ és BC egyenesek metszéspontja K, továbbá legyen T a k kör és a KF egyenes második, F-től különböző metszéspontja. Azt mutatjuk meg, hogy k, k₁ és k₂ a T pontban érintik egymást.

Ennek bizonyításához felhasználjuk az A. 505. feladat megoldásának ötleteit.

Legyen I, illetve J a BCD, illetve az ABC háromszögbe írt kör középpontja. Mivel AP-BP=AC-BC=BD-BC=DQ-CQ, az I és a J pont is a PQ szakaszon van.

Legyen P' a k kör C-t nem tartalmazó AB ívének felezőpontja, és Q' az ezzel szemközti CD ív felezőpontja. Mivel I és J a BCD, illetve ABC háromszög szögfelezőinek metszéspontja, I=DFBQ'CS' és J=AFCP'BR'. A Pascal-tételt a BCDFTQ' hatszögre felírva láthatjuk, hogy CD és TQ' az IK=PQ egyenesen metszi egymást, vagyis TQ' átmegy Q-n. Hasonlóan, az CBAFTP' hatszögre felírt Pascal-tételből kapjuk, hogy TP' átmegy P-n. A k₂-höz P-ben és a k-hoz P'-ben húzott érintők párhuzamosak, és a köröknek ugyanazon az oldalán vannak. Ezért PP' átmegy a két kör külső hasonlósági pontján. Ugyanígy QQ' is átmegy a két kör külső hasonlósági pontján, a hasonlósági pont tehát T. Mivel a hasonlósági pont a k körön van, k és k₂ a T-ben érinti egymást. (baloldali ábra)

Legyen H₁ a k és a k₁ kör külső hasonlósági pontja. Azt akarjuk megmutatni, hogy H₁=T.

Legyen R' a k kör B-t nem tartalmazó CA ívének felezőpontja, és S' a C-t nem taralmazó DB ív felezőpontja. A BCAFTR' és CBDFTS' hatszögekre felírt Pascal-tételből kapjuk, hogy TR' átmegy R-en és TS' átmegy S, így a k₁ és k külső hasonlósági pontja is T. (jobboldali ábra)

Statisztika:

10 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bereczki Zoltán, Forrás Bence, Janzer Olivér, Machó Bónis, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szabó 789 Barnabás, Venczel Tünde, Williams Kada.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2013. májusi matematika feladatai