A B. 4562. feladat (2013. október)

B. 4562. Az ABC derékszögű háromszög AC befogója, mint átmérő fölé írjunk félkört a háromszög belseje felé. A félkörnek az átfogóval való E metszéspontjában húzott érintője a BC befogót a D pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az EBD háromszög egyenlő szárú.

(3 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.

1. megoldás. A Thálész-tétel miatt CEA=90^o. Az ACE és CBA szögek merőleges szárú hegyesszögek, így egyenlők: ACE=CBA. Az ACE körben a BED érintő szárú kerületi szög, ami megegyezik az ACE szöggel. Összefoglalva,

DBE=CBA=ACE=BED.

Az EBD háromszög B-nél és E-nél levő szögei megegyeznek, a háromszög egyenlő szárú.

2. megoldás. Legyen k₁ és k₂ az AC, illetve a BC átmérőjű kör. A Thálész tétel miatt CE merőleges az AB oldalra. a Tálész-tétel megfordítása miatt a k₂ kör is átmegy az E ponton. A D pontból k₁-hez húzott DC és DE érintők ugyanolyan hosszúak, ezért D rajta van CE felező merőlegesén. Ugyanakkor a BC szakasz a k₂ kör átmérője, így D a k₂ középpontja. Tehát DB és DE a k₂ kör két sugara, amik egyenlőek.

Statisztika:

319 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	313 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai