A B. 4589. feladat (2013. december)

B. 4589. Létezik-e olyan n természetes szám, amelyre az $1^{10},2^{10},\ldots, n^{10}$ számok 10 csoportba oszthatók úgy, hogy mindegyik csoportban a tagok összege ugyanannyi?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy az n=10¹¹-1 szám ilyen, és megadjuk az 1¹⁰,2¹⁰,...,n¹⁰ számok egy megfelelő csoportosítását is.

Tetszőleges k nemnegatív egészre jelölje S(k) a k szám számjegyösszegét tízes számrendszerben, és legyen R(k) az S(k) osztási maradéka 10-szel osztva. Például S(987)=24 és R(987)=4. A csoportokat 0-tól 9-ig számozzuk meg, és tetszőleges 1 $\le$ k $\le$ n-re a k¹⁰ számot tegyük az R(k)-adik csoportba. Azt akarjuk igazolni, hogy tetszőleges 0 $\le$ r $\le$ 9 esetén az r-edik csoportban a számok összege $\frac1{10}\sum_{k=1}^n k^{10}$ . A 0-dik csoportban helyezzük el 0¹⁰-t is; ez nem változtatja meg az összegeket.

A 0 $\le$ k $\le$ 10¹¹-1 számot x₀+10x₁+10²x₂+...+10¹⁰x₁₀ alakban fogjuk felírni, ahol x₀,...,x₁₀ $\in$ {0,1,...,9} a k számjegyei 10-es számrendszerben. A zárójeleket felbontva,

$(x_0+10x_1+10^2x_2+\ldots+10^{10}x_{10})^{10} = \sum_{d_0+d_1+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}} x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}}$

alkalmas $C_{d_0d_1\ldots d_{10}}$ konstansokkal; az esetleg fellépő 0⁰ alakú hatványokat 1-nek definiáljuk.

Az r-edik csoportban a számok összege

$\sum_{R(k)=r} k^{10} = \sum_{x_0+\ldots+x_{10}\,(10)} \left( \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}} x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right) =$

$= \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}} \left( \sum_{x_0+\ldots+x_{10}\,(10)} x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right).$

(1)

Tekintsük az utolsó zárójelben áll összeget egy tetszőleges d₀,d₁,...,d₁₀ kitevősorozatra. Mivel d₀+...+d₁₀=0, a kitevők között legalább egyszer szerepel a 0. Legyen d_i az első ilyen. Ha az $x_0,\ldots,x_{i-1}$ és $x_{i+1},\ldots,x_{10}$ értékét ismerjük, akkor ezek egyértelműen meghatározzák az x_i számjegyet, ugyanakkor x_i nem befolyásolja x₀^d₀x₁^d₁...x₁₀^d₁₀ értékét. Azt is megtehetjük tehát, hogy az összes számjegysorozatra összegzünk (ezáltal az összeg 10-szeresét kapjuk), és osztunk 10-zel:

$\sum_{x_0+\ldots+x_{10}\,(10)} x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} = \frac1{10} \sum_{x_0=0}^9\sum_{x_1=0}^9\ldots\sum_{x_{10}=0}^9 x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}}.$

Ezt beírva (1)-be, majd visszacserélve a szummákat,

$\sum_{R(k)=r} k^{10} = \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}} \left(\frac1{10} \sum_{x_0=0}^9\ldots\sum_{x_{10}=0}^9 x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right) =$

$= \frac1{10} \sum_{x_0=0}^9\sum_{x_1=0}^9\ldots\sum_{x_{10}=0}^9 \left( \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}} x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right) = \frac1{10}\sum_{k=0}^{n-1} k^{10}.$

A számok összege tehát valóban $\frac1{10}\sum_{k=1}^n k^{10}$ mindegyik csoportban.

Megjegyzés. Az (R(0),R(1),R(2),...) sorozat az úgynevezett (Prouhet-)Thue-Morse sorozat egy általánosítása.

Statisztika:

10 dolgozat érkezett.

6 pontot kapott: Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Maga Balázs, Williams Kada.

0 pontot kapott: 5 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2013. decemberi matematika feladatai

10 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Maga Balázs, Williams Kada.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?