A B. 4621. feladat (2014. március)

B. 4621. Egy tetraéderről tudjuk, hogy van olyan gömb, amely mindegyik élét érinti, továbbá egyik lapjához létezik olyan gömb, amely érinti a lapon lévő három élt és a másik három él meghosszabbítását. Mutassuk meg, hogy ekkor a tetraéder mindegyik lapjához létezik a lapon lévő éleket és a másik három él meghosszabbítását érintő gömb.

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek az érintési pontok $\displaystyle E$, $\displaystyle F$, $\displaystyle G$, $\displaystyle H$, $\displaystyle I$, $\displaystyle J$ az ábra szerint. Mivel egy adott pontból egy adott gömbhöz húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúságúak, ezért $\displaystyle AG=AF=AE=x$, $\displaystyle BE=BH=BI=y$, $\displaystyle CH=CJ=CF=z$ és $\displaystyle DG=DI=DJ=v$.

Az élérintő gömb és egy lap síkjának metszete a lap (mint háromszög) beírt köre. Emiatt az egyes lapokon levő érintési pontok az adott lap beírt körének érintési pontjai is.

Legyen az $\displaystyle ABC$ lap az, amelyhez létezik a megfelelő gömb. Ennek a gömbnek és az $\displaystyle ABC$ háromszög síkjának metszete szintén az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt köre, így az érintési pontok itt is $\displaystyle E$, $\displaystyle H$ és $\displaystyle F$.

Jelölje az $\displaystyle AD$, $\displaystyle BD$, illetve $\displaystyle CD$ oldalak meghosszabításain levő érintési pontokat rendre $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$, illetve $\displaystyle R$. Mivel adott pontból egy adott gömbhöz húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúságúak, ezért $\displaystyle AF=AE=AP=x$, $\displaystyle BE=BH=BQ=y$ és $\displaystyle CH=CF=CR=z$. Ugyanezen okból $\displaystyle DP=DQ=DR$, azaz $\displaystyle v+2x=v+2y=v+2z$. Ebből $\displaystyle x=y=z$, tehát az $\displaystyle ABC$ háromszög szabályos. Mindebből az is következik, hogy a tetraéder minden oldaléle $\displaystyle x+v$ hosszúságú.

Azt kaptuk, hogy ha egy laphoz létezik a megfelelő gömb, akkor az a lap szabályos.

Ha viszont tekintünk egy olyan nem szabályos tetraédert, amelynek alaplapja szabályos háromszög, a többi lapja pedig egyenlő szárú háromszög, akkor annak csak az alapjához létezhet megfelelő gömb.

Tehát a feladat állítása hamis.

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Ágoston Péter, Baran Zsuzsanna, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Forrás Bence, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Simkó Irén, Williams Kada.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai