A B. 4621. feladat (2014. március)

B. 4621. Egy tetraéderről tudjuk, hogy van olyan gömb, amely mindegyik élét érinti, továbbá egyik lapjához létezik olyan gömb, amely érinti a lapon lévő három élt és a másik három él meghosszabbítását. Mutassuk meg, hogy ekkor a tetraéder mindegyik lapjához létezik a lapon lévő éleket és a másik három él meghosszabbítását érintő gömb.

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek az érintési pontok \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\), \(\displaystyle I\), \(\displaystyle J\) az ábra szerint. Mivel egy adott pontból egy adott gömbhöz húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúságúak, ezért \(\displaystyle AG=AF=AE=x\), \(\displaystyle BE=BH=BI=y\), \(\displaystyle CH=CJ=CF=z\) és \(\displaystyle DG=DI=DJ=v\).

Az élérintő gömb és egy lap síkjának metszete a lap (mint háromszög) beírt köre. Emiatt az egyes lapokon levő érintési pontok az adott lap beírt körének érintési pontjai is.

Legyen az \(\displaystyle ABC\) lap az, amelyhez létezik a megfelelő gömb. Ennek a gömbnek és az \(\displaystyle ABC\) háromszög síkjának metszete szintén az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt köre, így az érintési pontok itt is \(\displaystyle E\), \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle F\).

Jelölje az \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle BD\), illetve \(\displaystyle CD\) oldalak meghosszabításain levő érintési pontokat rendre \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), illetve \(\displaystyle R\). Mivel adott pontból egy adott gömbhöz húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúságúak, ezért \(\displaystyle AF=AE=AP=x\), \(\displaystyle BE=BH=BQ=y\) és \(\displaystyle CH=CF=CR=z\). Ugyanezen okból \(\displaystyle DP=DQ=DR\), azaz \(\displaystyle v+2x=v+2y=v+2z\). Ebből \(\displaystyle x=y=z\), tehát az \(\displaystyle ABC\) háromszög szabályos. Mindebből az is következik, hogy a tetraéder minden oldaléle \(\displaystyle x+v\) hosszúságú.

Azt kaptuk, hogy ha egy laphoz létezik a megfelelő gömb, akkor az a lap szabályos.

Ha viszont tekintünk egy olyan nem szabályos tetraédert, amelynek alaplapja szabályos háromszög, a többi lapja pedig egyenlő szárú háromszög, akkor annak csak az alapjához létezhet megfelelő gömb.

Tehát a feladat állítása hamis.

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Ágoston Péter, Baran Zsuzsanna, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Forrás Bence, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Simkó Irén, Williams Kada.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai