A B. 4639. feladat (2014. május)

B. 4639. A $\displaystyle P$ pont az $\displaystyle F_1$ és $\displaystyle F_2$ fókuszpontú $\displaystyle \mathcal E$ ellipszis olyan külső pontja, amely nincs rajta a nagytengely egyenesén. Legyen a $\displaystyle PF_1$ szakasz és $\displaystyle \mathcal E$ metszéspontja $\displaystyle M_1$, a $\displaystyle PF_2$ szakasz és $\displaystyle \mathcal E$ metszéspontja $\displaystyle M_2$, az $\displaystyle M_1F_2$ és $\displaystyle M_2F_1$ egyenesek metszéspontja pedig $\displaystyle R$. Bizonyítsuk be, hogy $\displaystyle PM_1RM_2$ érintőnégyszög.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha $\displaystyle PM_1RM_2$ érintőnégyszög, akkor a beírható köre egyúttal az $\displaystyle F_1M_2P$ háromszögnek és az $\displaystyle F_2M_1P$ háromszögnek is beírható köre. Vizsgáljik meg, hogy e két háromszögben a beírható kör a $\displaystyle P$ csúcstól milyen távolságra érinti a $\displaystyle P$-n átmenő oldalakat. Ha e két távolság egyenlő, akkor a két kör egybeesik, mert az $\displaystyle F_1PF_2$ szög szárait a szög csúcsától adott távolságra érintő kör egyértelműen létezik, középpontja a szög száraira az adott távolságban állított merőlegesek metszéspontja, sugara pedig e metszéspontnak a száraktól való távolsága (1. ábra).

1. ábra                                                             2. ábra

Ismert, hogy ha egy háromszög oldalai $\displaystyle a,b$ és $\displaystyle c$, akkkor a beírt kör oldalakon lévő érintési pontjainak a csúcsoktól való távolsága rendre $\displaystyle (a+b-c)/2$, $\displaystyle (b+c-a)/2$ és $\displaystyle (c+a-b)/2$. (Ennek bizonyítását a 2. ábra alapján az olvasóra bízzuk, csak annyit kell felhasználni, hogy külső pontból egy körhöz húzott két érintő hossza megegyezik.)

Az $\displaystyle F_1M_2P$ háromszög beírt köre tehát $\displaystyle P$-től $\displaystyle \frac{PF_1+PM_2-F_1M_2}2$, az $\displaystyle F_2M_1P$ háromszög beírt köre pedig $\displaystyle P$-től $\displaystyle \frac{PF_2+PM_1-F_2M_1}2$ távolságra érinti az $\displaystyle F_1PF_2$ szög szárait. Megmutatjuk, hogy e két távolság egyenlő. Ehhez elegendő azt belátnunk, hogy

$\displaystyle PF_1+PM_2-F_1M_2=PF_2+PM_1-F_2M_1,$

azaz

$\displaystyle (PM_1+M_1F_1)+PM_2-F_1M_2=(PM_2+M_2F_2)+PM_1-F_2M_1$

teljesül. Ezt rendezve kapjuk, hogy elegendő megmutatnunk az

$\displaystyle M_1F_1+F_2M_1=M_2F_2+F_1M_2$

egyenlőség fennállását, ami viszont azonnal következik abból, hogy $\displaystyle M_1$ és $\displaystyle M_2$ rajta vannak az $\displaystyle F_1$ és $\displaystyle F_2$ fókuszú $\displaystyle {\mathcal E}$ ellipszisen.

Tehát az $\displaystyle F_1M_2P$ és az $\displaystyle F_2M_1P$ háromszögek beírható körei egybeesnek, így ez a kör érinti a $\displaystyle PM_1RM_2$ négyszög minden oldalát, ezért $\displaystyle PM_1RM_2$ érintőnégyszög.

Fekete Panna (Pécs, Leőwey K. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

17 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Baran Zsuzsanna, Cseh Kristóf, Fekete Panna, Forrás Bence, Geng Máté, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Nagy-György Pál, Schrettner Bálint, Simkó Irén, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Török Tímea.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai