A B. 4660. feladat (2014. november)

B. 4660. Egy körmérkőzéses bajnokságban mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik. A győzelem 3, a döntetlen 1, a vereség 0 pontot ér, pontegyenlőség esetén a csapatok közti sorrendet sorsolással állapítják meg. A bajnokság jelenleg is tart, a tabellát az \(\displaystyle A\) csapat vezeti. Tudjuk, hogy ha \(\displaystyle A\) a hátralevő fordulókban pontosan \(\displaystyle x\) pontot szerez még, akkor biztosan bajnok lesz. Ha viszont \(\displaystyle A\) több, mint \(\displaystyle x\) pontot szerez, akkor nem biztos, hogy az élen végez. (\(\displaystyle A\) szerezhet még \(\displaystyle x\)-nél több pontot.) Hány forduló van még hátra a bajnokságból?

Javasolta: Vígh Viktor (Szeged)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük \(\displaystyle n\)-nel a hátralevő fordulók számát. Meg fogjuk mutatni, hogy \(\displaystyle n>1\) esetén mindig lehet példát adni a feladat állítására, ám \(\displaystyle n=1\) esetén nem.

Ha \(\displaystyle n=1\), akkor már csak 1 forduló van hátra, és amennyiben az \(\displaystyle A\) csapat több pontot szerez mint \(\displaystyle x\), akkor is biztosan megnyeri a bajnokságot, hiszen már \(\displaystyle x\) pont szerzése estén is nyert volna.

Ha \(\displaystyle n\ge 2\), akkor \(\displaystyle x=3n-4\)-re adunk példát az állításra. Legyen a tabellán 2. csapat a \(\displaystyle B\), neki van a legnagyobb esélye, hogy utolérje az élen álló csapatot. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle A\) játszik még \(\displaystyle B\)-vel, hogy \(\displaystyle B\) a hátralévő többi, nem \(\displaystyle A\) ellen vívott mérkőzését megnyeri, és hogy rajtuk kívül van még legalább két csapat, akik egymás között mindig döntetlent játszanak (ekkor ugyanis egyik sem éri utol a \(\displaystyle B\) csapatot sem).

Az \(\displaystyle A\) csapat csak akkor szerezhet \(\displaystyle n\) fordulóban \(\displaystyle 3n-4\) pontot, ha kettő kivételével minden meccsét megnyeri, a maradék kettőn pedig döntetlent játszik. Így ha \(\displaystyle A\)-nak \(\displaystyle k\) pontja volt, és \(\displaystyle B\)-nek \(\displaystyle k-3\), akkor \(\displaystyle A\)-nak \(\displaystyle k+3n-4\) lesz, míg \(\displaystyle B\)-nek \(\displaystyle (k-3)+(3n-2)=k+3n-5\), vagyis \(\displaystyle A\) megnyeri a bajnokságot.

\(\displaystyle A\) csak úgy szerezhet az utolsó \(\displaystyle n\) fordulóban \(\displaystyle 3n-3\) pontot, ha pontosan egy meccset elveszít, a többit megnyeri. Ha a \(\displaystyle B\) ellen veszít, akkor a végén \(\displaystyle k+3n-3\) pontja lesz, míg \(\displaystyle B\)-nek \(\displaystyle k-3+3n\). Tehát pontegyenlőség alakul ki, ekkor sorsolással döntenek, vagyis nem biztos, hogy \(\displaystyle A\) nyer.

\(\displaystyle A\)-nak lehet úgy 3-mal több pontja, mint \(\displaystyle B\)-nek, ha az eddigi összes meccsét megnyerte, \(\displaystyle B\) pedig pontosan egyet elveszített, a többit pedig megnyerte. Ha eddig \(\displaystyle m\) forduló volt, akkor \(\displaystyle A\)-nak \(\displaystyle 3m\), \(\displaystyle B\)-nek pedig \(\displaystyle 3m-3\) pontja van. A többi csapat egymással mindig döntetlent játszott, nekik \(\displaystyle m\) pontjuk van, kivéve a harmadik helyezettet, aki a \(\displaystyle B\)-t legyőzte. Ennek a csapatnak \(\displaystyle m+2\) pontja van. Teljesülnie kell, hogy \(\displaystyle 3m-3>m+2\), amiből \(\displaystyle m\geq3\) következik. Tehát az általunk adott példában a fordulók száma legalább \(\displaystyle 3+n\), a csapatok száma pedig legalább \(\displaystyle 4+n\).

Bereczki Zoltán (Szegedi Radnóti Miklós Kís. Gimn. és Ált. Isk. 12. évf.) és Geng Máté (Budapest, Németh László Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

57 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Cseh Viktor, Csorba Benjámin, Czirkos Angéla, Éles Márton, Geng Máté, Hansel Soma, Horeftos Leon, Horváth Miklós Zsigmond, Katona Dániel, Lajkó Kálmán, Márki-Zay Anna, Mikulás Zsófia, Mócsy Miklós, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Schwarcz Tamás, Szakály Marcell, Szebellédi Márton, Temesi András, Tóth Viktor, Zolomy Kristóf.
4 pontot kapott:	Bencze Tamás, Cseh Kristóf, Imolay András, Kátay Tamás, Keresztfalvi Bálint, Leitereg Miklós, Molnár 410 Roland, Molnár-Sáska Zoltán, Olexó Gergely, Szajbély Zsigmond, Vágó Ákos, Váli Benedek, Williams Kada.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai