A B. 4660. feladat (2014. november)

B. 4660. Egy körmérkőzéses bajnokságban mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik. A győzelem 3, a döntetlen 1, a vereség 0 pontot ér, pontegyenlőség esetén a csapatok közti sorrendet sorsolással állapítják meg. A bajnokság jelenleg is tart, a tabellát az $\displaystyle A$ csapat vezeti. Tudjuk, hogy ha $\displaystyle A$ a hátralevő fordulókban pontosan $\displaystyle x$ pontot szerez még, akkor biztosan bajnok lesz. Ha viszont $\displaystyle A$ több, mint $\displaystyle x$ pontot szerez, akkor nem biztos, hogy az élen végez. ($\displaystyle A$ szerezhet még $\displaystyle x$-nél több pontot.) Hány forduló van még hátra a bajnokságból?

Javasolta: Vígh Viktor (Szeged)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük $\displaystyle n$-nel a hátralevő fordulók számát. Meg fogjuk mutatni, hogy $\displaystyle n>1$ esetén mindig lehet példát adni a feladat állítására, ám $\displaystyle n=1$ esetén nem.

Ha $\displaystyle n=1$, akkor már csak 1 forduló van hátra, és amennyiben az $\displaystyle A$ csapat több pontot szerez mint $\displaystyle x$, akkor is biztosan megnyeri a bajnokságot, hiszen már $\displaystyle x$ pont szerzése estén is nyert volna.

Ha $\displaystyle n\ge 2$, akkor $\displaystyle x=3n-4$-re adunk példát az állításra. Legyen a tabellán 2. csapat a $\displaystyle B$, neki van a legnagyobb esélye, hogy utolérje az élen álló csapatot. Tegyük fel, hogy $\displaystyle A$ játszik még $\displaystyle B$-vel, hogy $\displaystyle B$ a hátralévő többi, nem $\displaystyle A$ ellen vívott mérkőzését megnyeri, és hogy rajtuk kívül van még legalább két csapat, akik egymás között mindig döntetlent játszanak (ekkor ugyanis egyik sem éri utol a $\displaystyle B$ csapatot sem).

Az $\displaystyle A$ csapat csak akkor szerezhet $\displaystyle n$ fordulóban $\displaystyle 3n-4$ pontot, ha kettő kivételével minden meccsét megnyeri, a maradék kettőn pedig döntetlent játszik. Így ha $\displaystyle A$-nak $\displaystyle k$ pontja volt, és $\displaystyle B$-nek $\displaystyle k-3$, akkor $\displaystyle A$-nak $\displaystyle k+3n-4$ lesz, míg $\displaystyle B$-nek $\displaystyle (k-3)+(3n-2)=k+3n-5$, vagyis $\displaystyle A$ megnyeri a bajnokságot.

$\displaystyle A$ csak úgy szerezhet az utolsó $\displaystyle n$ fordulóban $\displaystyle 3n-3$ pontot, ha pontosan egy meccset elveszít, a többit megnyeri. Ha a $\displaystyle B$ ellen veszít, akkor a végén $\displaystyle k+3n-3$ pontja lesz, míg $\displaystyle B$-nek $\displaystyle k-3+3n$. Tehát pontegyenlőség alakul ki, ekkor sorsolással döntenek, vagyis nem biztos, hogy $\displaystyle A$ nyer.

$\displaystyle A$-nak lehet úgy 3-mal több pontja, mint $\displaystyle B$-nek, ha az eddigi összes meccsét megnyerte, $\displaystyle B$ pedig pontosan egyet elveszített, a többit pedig megnyerte. Ha eddig $\displaystyle m$ forduló volt, akkor $\displaystyle A$-nak $\displaystyle 3m$, $\displaystyle B$-nek pedig $\displaystyle 3m-3$ pontja van. A többi csapat egymással mindig döntetlent játszott, nekik $\displaystyle m$ pontjuk van, kivéve a harmadik helyezettet, aki a $\displaystyle B$-t legyőzte. Ennek a csapatnak $\displaystyle m+2$ pontja van. Teljesülnie kell, hogy $\displaystyle 3m-3>m+2$, amiből $\displaystyle m\geq3$ következik. Tehát az általunk adott példában a fordulók száma legalább $\displaystyle 3+n$, a csapatok száma pedig legalább $\displaystyle 4+n$.

Bereczki Zoltán (Szegedi Radnóti Miklós Kís. Gimn. és Ált. Isk. 12. évf.) és Geng Máté (Budapest, Németh László Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

57 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Cseh Viktor, Csorba Benjámin, Czirkos Angéla, Éles Márton, Geng Máté, Hansel Soma, Horeftos Leon, Horváth Miklós Zsigmond, Katona Dániel, Lajkó Kálmán, Márki-Zay Anna, Mikulás Zsófia, Mócsy Miklós, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Schwarcz Tamás, Szakály Marcell, Szebellédi Márton, Temesi András, Tóth Viktor, Zolomy Kristóf.
4 pontot kapott:	Bencze Tamás, Cseh Kristóf, Imolay András, Kátay Tamás, Keresztfalvi Bálint, Leitereg Miklós, Molnár 410 Roland, Molnár-Sáska Zoltán, Olexó Gergely, Szajbély Zsigmond, Vágó Ákos, Váli Benedek, Williams Kada.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai