A B. 4727. feladat (2015. szeptember)

B. 4727. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle f:\mathbb R \to \mathbb R\) függvényt, amelyre tetszőleges \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\)-ra \(\displaystyle f(x+y)+f(x)f(y)=x^2 y^2+2xy\).

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Hint. Próbálkozzunk speciális értékek behelyettesítésével.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle y=0\).

Ekkor \(\displaystyle f\left(x+0\right)+f\left(x\right){\cdot}f\left(0\right)=f\left(x\right)\left(1+f\left(0\right)\right)=0\) (\(\displaystyle {\forall}x{\in}\Bbb R\)).

Ha \(\displaystyle f\left(x\right)=0\) (\(\displaystyle {\forall}x{\in}\Bbb R\)), akkor az eredeti egyenlet nem minden x és y esetén teljesül. Így \(\displaystyle f\left(0\right)=-1\).

Legyen \(\displaystyle x=1\), \(\displaystyle y=-1\).

Ekkor \(\displaystyle f\left(0\right)+f\left(1\right){\cdot}f\left(-1\right)=-1\), amiből \(\displaystyle f\left(0\right)=-1\) miatt \(\displaystyle f\left(1\right){\cdot}f\left(-1\right)=0\).

Ha \(\displaystyle f\left(1\right)=0\), akkor \(\displaystyle x\) helyett helyettesítsünk \(\displaystyle x-1\)-et és legyen \(\displaystyle y=1\). Ekkor \(\displaystyle f\left(x-1+1\right)+f\left(x-1\right){\cdot}f\left(1\right)=(x-1)^2+2\left(x-1\right)=x^2-1\).

Vagyis \(\displaystyle f\left(x\right)=x^2-1\) (\(\displaystyle {\forall}x{\in}\Bbb R\)).

Ha \(\displaystyle f\left(-1\right)=0\), akkor \(\displaystyle x\) helyett helyettesítsünk \(\displaystyle x+1\)-et és legyen \(\displaystyle y=-1\).

Ekkor \(\displaystyle f\left(x+1-1\right)+f\left(x+1\right){\cdot}f\left(-1\right)=(x+1)^2+2\left(x+1\right)(-1)=x^2-1\).

Vagyis \(\displaystyle f\left(x\right)=x^2-1\) (\(\displaystyle {\forall}x{\in}\Bbb R\)). Ugyanazt a függvényt kaptuk, mint az előző esetben.

Visszahelyettesítve a megadott egyenletbe:

\(\displaystyle (x+y)^2-1+\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)=x^2+2\mathit{xy}+y^2-1+x^2y^2-x^2-y^2+1=x^2y^2+2\mathit{xy}\).

Tehát a kapott függvény rendelkezik a kívánt tulajdonsággal.

Statisztika:

121 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andó Angelika, Balázs Ákos Miklós, Baran Zsuzsanna, Bege Áron, Bereczki Ádám, Bindics Boldizsár, Bodolai Előd, Borbényi Márton, Bosits Balázs Géza, Busa 423 Máté, Cseh Kristóf, Csitári Nóra, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Balázs Attila, Fuisz Gábor, Fülöp Anna Tácia, Gáspár Attila, Hansel Soma, Horváth András János, Imolay András, Juhász 326 Dániel, Kassai Levente, Klász Viktória, Knoch Júlia, Kovács 162 Viktória, Kovács 246 Benedek, Lajkó Kálmán, Mályusz Attila, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Dávid Paszkál, Nagy Kartal, Németh 123 Balázs, Németh Hanna, Páli Petra, Polgár Márton, Radnai Bálint, Schrettner Bálint, Schrettner Jakab, Somogyi Pál, Szajbély Zsigmond, Szemerédi Levente, Tompa Tamás Lajos, Tóth Viktor, Vágó Ákos, Váli Benedek, Vankó Miléna, Varga-Umbrich Eszter, Várkonyi Dorka, Záhorský Ákos.
4 pontot kapott:	34 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	19 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai