A B. 4818. feladat (2016. október)

B. 4818. Az $\displaystyle ABCD$ húrnégyszög $\displaystyle AC$ és $\displaystyle BD$ átlóinak metszéspontja $\displaystyle M$. A $\displaystyle CAD\sphericalangle$ és $\displaystyle ACB\sphericalangle$ szögfelezője az $\displaystyle ABCD$ húrnégyszög körülírt körét rendre az $\displaystyle E$ és $\displaystyle F$ pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle EF$ egyenes merőleges az $\displaystyle AMD$ szög felezőjére.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje $\displaystyle K_1$ az $\displaystyle ADM$, $\displaystyle K_2$ pedig a $\displaystyle BCM$ háromszög beírt körének középpontját; ekkor a $\displaystyle K_1K_2$ egyenes éppen az $\displaystyle AMD$ szög felezője; ennek az $\displaystyle AD$ és $\displaystyle BC$ oldalakkal való metszéspontja $\displaystyle G$ illetve $\displaystyle H$. Az ábrán $\displaystyle 2\alpha$-val illetve $\displaystyle 2\gamma$-val jelölt szögek a kerületi szögek tétele miatt egyenlők egymással. Továbbá $\displaystyle EK_1K_2\measuredangle = GK_1A\measuredangle = DK_1A\measuredangle /2 = (180^{\circ}-\alpha -\gamma)/2=BK_2C\measuredangle /2 = BK_2H\measuredangle = K_1K_2E\measuredangle$. Így $\displaystyle K_1EK_2$ egyenlő szárú háromszög: $\displaystyle EK_1=EK_2$. Ugyanígy kapjuk, hogy $\displaystyle FK_1=FK_2$, azaz $\displaystyle FK_1EK_2$ deltoid, aminek $\displaystyle EF$ és $\displaystyle K_1K_2$ átlói egymásra merőlegesek.

Statisztika:

122 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	74 versenyző.
4 pontot kapott:	30 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2016. októberi matematika feladatai