A B. 4818. feladat (2016. október)

B. 4818. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlóinak metszéspontja \(\displaystyle M\). A \(\displaystyle CAD\sphericalangle\) és \(\displaystyle ACB\sphericalangle\) szögfelezője az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög körülírt körét rendre az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle EF\) egyenes merőleges az \(\displaystyle AMD\) szög felezőjére.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle K_1\) az \(\displaystyle ADM\), \(\displaystyle K_2\) pedig a \(\displaystyle BCM\) háromszög beírt körének középpontját; ekkor a \(\displaystyle K_1K_2\) egyenes éppen az \(\displaystyle AMD\) szög felezője; ennek az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) oldalakkal való metszéspontja \(\displaystyle G\) illetve \(\displaystyle H\). Az ábrán \(\displaystyle 2\alpha\)-val illetve \(\displaystyle 2\gamma\)-val jelölt szögek a kerületi szögek tétele miatt egyenlők egymással. Továbbá \(\displaystyle EK_1K_2\measuredangle = GK_1A\measuredangle = DK_1A\measuredangle /2 = (180^{\circ}-\alpha -\gamma)/2=BK_2C\measuredangle /2 = BK_2H\measuredangle = K_1K_2E\measuredangle\). Így \(\displaystyle K_1EK_2\) egyenlő szárú háromszög: \(\displaystyle EK_1=EK_2\). Ugyanígy kapjuk, hogy \(\displaystyle FK_1=FK_2\), azaz \(\displaystyle FK_1EK_2\) deltoid, aminek \(\displaystyle EF\) és \(\displaystyle K_1K_2\) átlói egymásra merőlegesek.

Statisztika:

122 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	74 versenyző.
4 pontot kapott:	30 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2016. októberi matematika feladatai