A C. 1145. feladat (2012. december)

C. 1145. Bizonyítsuk be, hogy a páratlan számok és a 4-gyel osztható egész számok felírhatók két négyzetszám különbségeként, a 4-gyel nem osztható páros számok viszont nem.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Írjuk fel a négyzetszámok sorozatát: 0, 1, 4, 9, 16, ..., $\displaystyle n$, $\displaystyle (n+1)^2$..., ahol $\displaystyle a_0=0$, $\displaystyle a_n=n^2$ (ahol $\displaystyle n\in\Bbb N$).

Két szomszédos négyzetszám közötti különbség: $\displaystyle a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-n^2=2n+1$. Vagyis tetszőleges pozitív páratlan szám felírható két szomszédos négyzetszám különbségeként.

Írjuk fel két tetszőleges négyzetszám különbségét. Ez valahány egymás utáni négyzetszám összege lesz:

$\displaystyle (2n+1)+(2n+3)+\ldots+(2n+(2k+1))=$

$\displaystyle =\frac{(2n+1)+(2n+(2k+1))}{2}(k+1)=(2n+k+1)(k+1)\qquad(k\geq1).$

Ha $\displaystyle (k+1)$ páratlan, akkor ez a szorzat is az, ha pedig páros, akkor a szorzat mindkét tényezője páros, vagyis a szorzat osztható 4-gyel.

Legyen tehát $\displaystyle n=4m$. A négyzetszámok sorozatát vizsgálva: $\displaystyle 4-0=4$, $\displaystyle 9-1=8$, $\displaystyle 16-4=12$,... Azt sejtjük, hogy $\displaystyle 4m=a_{m+1}^2-a_{m-1}^2$. És valóban, hiszen ez nem más, mint $\displaystyle (m+1)^2-(m-1)^2=4m$.

Statisztika:

286 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	162 versenyző.
4 pontot kapott:	22 versenyző.
3 pontot kapott:	29 versenyző.
2 pontot kapott:	56 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai