A C. 1145. feladat (2012. december)

C. 1145. Bizonyítsuk be, hogy a páratlan számok és a 4-gyel osztható egész számok felírhatók két négyzetszám különbségeként, a 4-gyel nem osztható páros számok viszont nem.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Írjuk fel a négyzetszámok sorozatát: 0, 1, 4, 9, 16, ..., \(\displaystyle n\), \(\displaystyle (n+1)^2\)..., ahol \(\displaystyle a_0=0\), \(\displaystyle a_n=n^2\) (ahol \(\displaystyle n\in\Bbb N\)).

Két szomszédos négyzetszám közötti különbség: \(\displaystyle a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-n^2=2n+1\). Vagyis tetszőleges pozitív páratlan szám felírható két szomszédos négyzetszám különbségeként.

Írjuk fel két tetszőleges négyzetszám különbségét. Ez valahány egymás utáni négyzetszám összege lesz:

\(\displaystyle (2n+1)+(2n+3)+\ldots+(2n+(2k+1))=\)

\(\displaystyle =\frac{(2n+1)+(2n+(2k+1))}{2}(k+1)=(2n+k+1)(k+1)\qquad(k\geq1).\)

Ha \(\displaystyle (k+1)\) páratlan, akkor ez a szorzat is az, ha pedig páros, akkor a szorzat mindkét tényezője páros, vagyis a szorzat osztható 4-gyel.

Legyen tehát \(\displaystyle n=4m\). A négyzetszámok sorozatát vizsgálva: \(\displaystyle 4-0=4\), \(\displaystyle 9-1=8\), \(\displaystyle 16-4=12\),... Azt sejtjük, hogy \(\displaystyle 4m=a_{m+1}^2-a_{m-1}^2\). És valóban, hiszen ez nem más, mint \(\displaystyle (m+1)^2-(m-1)^2=4m\).

Statisztika:

286 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	162 versenyző.
4 pontot kapott:	22 versenyző.
3 pontot kapott:	29 versenyző.
2 pontot kapott:	56 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai