A C. 1162. feladat (2013. március)

C. 1162. Az ABCD paralelogramma rövidebb AC=a átlója, mint átmérő fölé kört írunk. A kör és a paralelogramma metszéspontjai meghatározzák az AIJCKL hatszöget, melynek oldalai rendre , b, b, , b, b hosszúak. Mekkorák a paralelogramma oldalai és szögei?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a $\displaystyle CAB\angle$ legalább $\displaystyle 90^{\circ}$-os, akkor nem keletkezik hatszög.

Tehát a $\displaystyle CAB\angle$ hegyesszög, és így az $\displaystyle ABC$ háromszög minden szöge az.

Tudjuk, hogy $\displaystyle AI=CK=a/2$ és $\displaystyle IJ=JC=KL=LA=a/2$. Mivel a kör átmérője $\displaystyle a$, ezért az $\displaystyle a/2$ hosszú szakaszokhoz $\displaystyle 60^{\circ}$-os középponti szög tartozik. Mivel a $\displaystyle CK$, $\displaystyle KL$ és $\displaystyle LA$ szakaszokhoz tartozó középponti szögek összege $\displaystyle 180^{\circ}$, ezért a $\displaystyle CK$ szakasznak is $\displaystyle 60^{\circ}$-os a középponti szöge. Ebből az is következik, hogy $\displaystyle CK=KL$, vagyis $\displaystyle b=a/2$.

Ezek szerint az $\displaystyle AOL$, $\displaystyle LOK$ és $\displaystyle KOC$ háromszögek szabályosak, így összes szögük $\displaystyle 60^{\circ}$, és így $\displaystyle OAL\angle=OCK\angle=60^{\circ}$. Az $\displaystyle ACD$ háromszög $\displaystyle A$ és $\displaystyle C$ csúcsánál levő szögek tehát $\displaystyle 60^{\circ}$-osak, vagyis az $\displaystyle ACD$ háromszög szabályos, $\displaystyle ADC\angle=60^{\circ}$ és $\displaystyle AD=DC=AC=a$. A középpontos szimmetria miatt így a paralelogramma szögeinek mérete $\displaystyle 60^{\circ}$, illetve $\displaystyle 120^{\circ}$ és minden oldalának hossza $\displaystyle a$.

Statisztika:

155 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	108 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2013. márciusi matematika feladatai