A C. 1295. feladat (2015. május)

C. 1295. Az $\displaystyle ABCD$ négyszög $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ csúcsánál levő szög megegyezik, továbbá az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ csúcsnál levő belső szögfelezők $\displaystyle E$ metszéspontja a $\displaystyle CD$ oldalra esik. Bizonyítsuk be, hogy $\displaystyle E$ felezi a $\displaystyle CD$ oldalt.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Készítsünk ábrát. Az egyformán jelölt szögek egyenlők. Legyen $\displaystyle ADC\angle=BCD\angle=\gamma$ (az ábrán az egy áthúzással jelölt szög).

Az $\displaystyle E$ pontból a $\displaystyle BC$ félegyenesre, az $\displaystyle AD$ félegyenesre, illetve az $\displaystyle AB$ egyenesre állított merőleges talppontját jelölje rendre $\displaystyle T_1$, $\displaystyle T_2$, illetve $\displaystyle T_3$. Mivel $\displaystyle BE$ szögfelező, ezért $\displaystyle ET_1=ET_3$. Hasonlóan, $\displaystyle AE$ szögfelező, és emiatt $\displaystyle ET_3=ET_2$. A kettő egyenletből $\displaystyle ET_1=ET_2$ következik. Tudjuk még, hogy $\displaystyle EDT_2\angle=180^{\circ}-EDA\angle=180^{\circ}-\gamma=180^{\circ}-BCE\angle=ECT_1\angle$, illetve $\displaystyle ET_2D\angle=ET_1C\angle=90^{\circ}$. Mindebből következik, hogy a $\displaystyle DT_2E$ és a $\displaystyle CT_1E$ háromszög egybevágó, hiszen két szögük és egy oldaluk egyenlő. Tehát a két másik megfelelő oldaluk is egyenlő egymással, vagyis $\displaystyle ED=EC$.

Statisztika:

58 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. májusi matematika feladatai