A C. 1295. feladat (2015. május)

C. 1295. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) csúcsánál levő szög megegyezik, továbbá az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsnál levő belső szögfelezők \(\displaystyle E\) metszéspontja a \(\displaystyle CD\) oldalra esik. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle E\) felezi a \(\displaystyle CD\) oldalt.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Készítsünk ábrát. Az egyformán jelölt szögek egyenlők. Legyen \(\displaystyle ADC\angle=BCD\angle=\gamma\) (az ábrán az egy áthúzással jelölt szög).

Az \(\displaystyle E\) pontból a \(\displaystyle BC\) félegyenesre, az \(\displaystyle AD\) félegyenesre, illetve az \(\displaystyle AB\) egyenesre állított merőleges talppontját jelölje rendre \(\displaystyle T_1\), \(\displaystyle T_2\), illetve \(\displaystyle T_3\). Mivel \(\displaystyle BE\) szögfelező, ezért \(\displaystyle ET_1=ET_3\). Hasonlóan, \(\displaystyle AE\) szögfelező, és emiatt \(\displaystyle ET_3=ET_2\). A kettő egyenletből \(\displaystyle ET_1=ET_2\) következik. Tudjuk még, hogy \(\displaystyle EDT_2\angle=180^{\circ}-EDA\angle=180^{\circ}-\gamma=180^{\circ}-BCE\angle=ECT_1\angle\), illetve \(\displaystyle ET_2D\angle=ET_1C\angle=90^{\circ}\). Mindebből következik, hogy a \(\displaystyle DT_2E\) és a \(\displaystyle CT_1E\) háromszög egybevágó, hiszen két szögük és egy oldaluk egyenlő. Tehát a két másik megfelelő oldaluk is egyenlő egymással, vagyis \(\displaystyle ED=EC\).

Statisztika:

58 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. májusi matematika feladatai