A C. 1302. feladat (2015. szeptember)

C. 1302. Adott egy $\displaystyle O$ középpontú, $\displaystyle r$ sugarú kör, és rajta kívül egy $\displaystyle P$ pont. A $\displaystyle P$-ből húzott érintők érintési pontjai a körön legyenek $\displaystyle Q$ és $\displaystyle R$. Mekkora legyen az $\displaystyle |OP|$ távolság, hogy a $\displaystyle PQOR$ négyszög területe megegyezzen a kör területével?

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Készítsünk ábrát. Mivel egy körhöz húzott érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra, így $\displaystyle PQO\sphericalangle=PRO\sphericalangle=90^{\circ}$.

Az $\displaystyle OPQ$ derékszögű háromszögben Pitagorasz tételét felírva: $\displaystyle QP^2=OP^2-r^2$. Ennek a háromszögnek a területe: $\displaystyle t_{PQO}=\frac12\cdot QP\cdot QO=\frac12r\cdot QP$.

A kör területe: $\displaystyle t_{\circ}=r^2\pi$. Mivel az $\displaystyle OPQ$ és az $\displaystyle OPR$ háromszög egybevágó (két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik), ezért $\displaystyle t_{PQOR}=t_{PQO}+t_{PRO}=2t_{PQO}=2\cdot \frac12r\cdot QP=r\cdot QP$.

A feltétel szerint tehát $\displaystyle r^2\pi=r\cdot QP$, vagyis ($\displaystyle r>0$-val osztva mindkét oldalt) $\displaystyle r\pi=QP$, amiből $\displaystyle r^2\pi^2=QP^2=OP^2-r^2$. Innen $\displaystyle r^2\pi^2+r^2=OP^2$, vagyis $\displaystyle r^2(\pi^2+1)=OP^2$, amiből $\displaystyle OP=r\sqrt{\pi^2+1}$. Mivel $\displaystyle r$, $\displaystyle \pi$, $\displaystyle QP$ és $\displaystyle OP$ pozitív, ezért a gondolatmenet visszafelé is igaz, tehát ha $\displaystyle |OP|=r\sqrt{\pi^2+1}$, akkor a $\displaystyle PQOR$ négyszög területe megegyezik a kör területével.

Statisztika:

211 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bárány Tamás, Beke-Szabó Csenge, Busa 423 Máté, Csilling Eszter, Csuha Boglárka, Dávid Levente, Demeter Gergő, Édes Lili, Erdélyi Zsófia , Farkas 333 Dorottya, Fekete Ákos, Galambos Ágnes, Garamvölgyi István Attila, Geretovszky Anna, Grácin Ibolya, Heller-Szabó Anna, Hidy Gábor, Kamenár Gyöngyvér, Kaposi Benedek, Kassai Levente, Kis 999 Alexandra, Körmöczi Kitti , Magyar 257 Boglárka, Maksa Gergő, Mályusz Attila, Marozsák Tóbiás , Molnár 410 István, Páhoki Tamás, Pap-Takács Noémi, Paulovics Péter, Pinke Andrea, Póta Balázs, Sántha 001 Balázs, Sebe Anna, Simon Dóra, Slenker Balázs, Somogyi Márk, Szajbély Sámuel, Szécsi Adél Lilla, Szentistványi István János, Szögi Tamás, Tóth 111 Máté , Tóth 953 Eszter, Török 111 Emese, Tubak Dániel, Uzonyi 000 Ákos, Varga 274 Tamás, Veres Károly, Weisz Máté, Zsombó István.
4 pontot kapott:	55 versenyző.
3 pontot kapott:	44 versenyző.
2 pontot kapott:	33 versenyző.
1 pontot kapott:	24 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai