A C. 1303. feladat (2015. szeptember)

C. 1303. Egy $\displaystyle 130~\rm{cm}^2$ területű, téglalap alakú origami papír két szomszédos csúcsát szimmetrikusan középre hajtottuk úgy, hogy a középre hajtott két oldal szabályos háromszöget formáz az ábra szerint. Mekkorák az eredeti papírlap oldalai?

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A hajtás miatt a megfelelő szögek és szakaszok megegyeznek, ezt jelöljük az ábrán.

A $\displaystyle G$ csúcsnál $\displaystyle 180^{\circ}=60^{\circ}+2\alpha$, amiből $\displaystyle \alpha=60^{\circ}$. A $\displaystyle CNG$ derészögű háromszögben $\displaystyle \beta=GCN\sphericalangle=180^{\circ}- 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$, vagyis a $\displaystyle CNG$ háromszög egy szabályos háromszög fele, és így $\displaystyle GC=2x$. Felírva a háromszögre a Pitagorasz-tételt: $\displaystyle a^2=(2x)^2-x^2=3x^2$, amiből $\displaystyle a=\sqrt3x$.

A téglalap területe $\displaystyle 3x\cdot a$, vagyis $\displaystyle 130=3x\cdot\sqrt3 x$, ahonnan $\displaystyle x^2=\frac{130}{3\sqrt3}$, vagyis $\displaystyle x=\sqrt{\frac{130}{3\sqrt3}}$.

A téglalap oldalai: $\displaystyle 3x=3\sqrt{\frac{130}{3\sqrt3}}$ és $\displaystyle a=\sqrt3x=\sqrt{\frac{130}{\sqrt3}}$.

Statisztika:

338 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	259 versenyző.
4 pontot kapott:	53 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai