A C. 1314. feladat (2015. október)

C. 1314. Egy háromszög két oldala egységnyi hosszú, közrezárt szögük $\displaystyle 108^{\circ}$. Írjunk a háromszögbe szabályos ötszöget úgy, hogy az ötszög oldalai közül három a háromszög oldalaira essen. Mekkorák a beírt ötszög oldalai?

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy szabályos ötszög belső szöge $\displaystyle 108^{\circ}$. Az ötszög három szóban forgó oldala közül kettő biztosan szomszédos, így ezek a háromszög száraira illeszkednek az ábrán látható módon.

Legyen az $\displaystyle AB$ alap felezőpontja $\displaystyle H$, az ötszög oldalainak hossza pedig $\displaystyle a$.

A $\displaystyle CHB$ derékszögű háromszögben $\displaystyle \cos 36^{\circ}=\frac{HB}{CB}=\frac{a/2+1-a}{1}=1-\frac a2$, amiből $\displaystyle 1-\frac a2\approx0,81$, és így $\displaystyle a\approx 0,38$.

Megjegyzés. A $\displaystyle \cos36^{\circ}$ pontos értéke $\displaystyle \frac{\sqrt5+1}{4}$.

Szögfüggvények pontos értéke

Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	60 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai