A C. 1326. feladat (2015. december)

C. 1326. Egy derékszögű trapéz alakú telek kerülete 400 m. A trapéz egyik szára az alappal $\displaystyle 45^\circ$-os szöget zár be. Mekkora alap esetén lenne a telek területe a lehető legnagyobb?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a trapéz oldalai $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ és $\displaystyle d$ (1.ábra). A trapéz középvonala: $\displaystyle x=\frac{a+c} 2$.

1. ábra

Mivel $\displaystyle \mathit{ABC}{\measuredangle}=45{}^{\circ}$, így $\displaystyle b=\sqrt 2d$. A kerület:

$\displaystyle K=a+c+b+d=2x+d\left(\sqrt 2+1\right)=400.$

Ebből $\displaystyle d=\frac{400-2x}{\sqrt 2+1}$.

A trapéz területe: $\displaystyle T=\frac{a+c} 2d=x\frac{400-2x}{\sqrt 2+1}=\frac 2{\sqrt 2+1}x(200-x)$.

A konkáv parabola zérushelyei: $\displaystyle x_1=0$ és $\displaystyle x_2=200$, így a maximum helye $\displaystyle x=\frac{x_1+x_2} 2=100$. Ebből $\displaystyle d=\frac{200}{\sqrt 2+1}\,{\approx}\,82,84m$. Az alap $\displaystyle a=x+\frac d 2\,{\approx}\,141,42\mathrm{~m}$, ekkor lesz a trapéz területe maximális.

Statisztika:

159 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	88 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	26 versenyző.

A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai