A C. 1326. feladat (2015. december)

C. 1326. Egy derékszögű trapéz alakú telek kerülete 400 m. A trapéz egyik szára az alappal \(\displaystyle 45^\circ\)-os szöget zár be. Mekkora alap esetén lenne a telek területe a lehető legnagyobb?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a trapéz oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) (1.ábra). A trapéz középvonala: \(\displaystyle x=\frac{a+c} 2\).

1. ábra

Mivel \(\displaystyle \mathit{ABC}{\measuredangle}=45{}^{\circ}\), így \(\displaystyle b=\sqrt 2d\). A kerület:

\(\displaystyle K=a+c+b+d=2x+d\left(\sqrt 2+1\right)=400.\)

Ebből \(\displaystyle d=\frac{400-2x}{\sqrt 2+1}\).

A trapéz területe: \(\displaystyle T=\frac{a+c} 2d=x\frac{400-2x}{\sqrt 2+1}=\frac 2{\sqrt 2+1}x(200-x)\).

A konkáv parabola zérushelyei: \(\displaystyle x_1=0\) és \(\displaystyle x_2=200\), így a maximum helye \(\displaystyle x=\frac{x_1+x_2} 2=100\). Ebből \(\displaystyle d=\frac{200}{\sqrt 2+1}\,{\approx}\,82,84m\). Az alap \(\displaystyle a=x+\frac d 2\,{\approx}\,141,42\mathrm{~m}\), ekkor lesz a trapéz területe maximális.

Statisztika:

159 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	88 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	26 versenyző.

A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai