A C. 1354. feladat (2016. április)

C. 1354. Egy egységsugarú körben \(\displaystyle n\) darab (\(\displaystyle n>2\)) egyforma kis kör úgy helyezkedik el, hogy mindegyik belülről érinti az egységsugarú kört és érintik mindkét szomszédjukat is. A kis körök mekkora hányadát fedik le az egységsugarú kör területének? Számítsuk is ki \(\displaystyle n=3\), 4 és 6 esetén a kérdéses hányadost.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyünk két szomszédos kört, középpontjukat jelölje \(\displaystyle O_1\) és \(\displaystyle O_2\), érintsék egymást a \(\displaystyle P\) pontban. Ekkor az \(\displaystyle OP\) egyenes a két kör közös érintője. Mivel egy kör középppontjából az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, ezért \(\displaystyle OPO_1\angle=OPO_2\angle=90^{\circ}\). Tehát \(\displaystyle O_1\), \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle O_2\) egy egyenesen vannak, \(\displaystyle OP\) az \(\displaystyle O_1O_2\) szakasz felező merőlegese. A kis körök sugarát jelölje \(\displaystyle r\), és legyen \(\displaystyle A_2A_1=x\).

Felhasználva, hogy \(\displaystyle A_2OA_1\angle=2\pi/n\), írjuk fel a koszinusz-tételt az \(\displaystyle A_1A_2O\) háromszögre:

\(\displaystyle x^2=1^2+1^2-2\cdot1^2\cos\frac{2\pi}{n}=2-2\cos\frac{2\pi}{n}.\)

Ebből \(\displaystyle x=\sqrt{2-2\cos\frac{2\pi}{n}}\).

Mivel az \(\displaystyle O_1O_2O\) és az \(\displaystyle A_1A_2O\) háromszög egyenlő szárú, és a háromszögek szárai egybeesnek, a két háromszög hasonló. Ebből következik, hogy megfelelő oldalaik aránya megegyezik:

\(\displaystyle \frac{O_1O_2}{A_1A_2}=\frac{O_2O}{A_2O},\)

azaz \(\displaystyle \frac{2r}{x}=\frac{1-r}{1}\), amiből \(\displaystyle 2r=x-rx\), majd \(\displaystyle r=\frac{x}{2+x}\) következik. Ebből már felírható a keresett hányados:

\(\displaystyle \frac{T_n}{T}=\frac{nr^2\pi}{1^2\pi}=nr^2= n\cdot\left(\frac{\sqrt{2-2\cos\frac{2\pi}{n}}}{2+\sqrt{2-2\cos\frac{2\pi}{n}}}\right)^2.\)

Ha \(\displaystyle n=3\), akkor \(\displaystyle \cos\frac{2\pi}{3}=-0,5\), amiből \(\displaystyle x^2=2+1=3\) és \(\displaystyle x=\sqrt3\). Ebből \(\displaystyle \frac{T_3}{T}=3\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2+\sqrt3}\right)^2=63-36\sqrt3\).

Ha \(\displaystyle n=4\), akkor \(\displaystyle \cos\frac{2\pi}{4}=0\), amiből \(\displaystyle x^2=2\) és \(\displaystyle x=\sqrt2\), az arány pedig \(\displaystyle \frac{T_4}{T}=4\cdot\left(\frac{\sqrt2}{2+\sqrt2}\right)^2=12-8\sqrt2\).

Végül \(\displaystyle n=6\) esetén \(\displaystyle \cos\frac{2\pi}{6}=0,5\), amiből \(\displaystyle x^2=2-1=1\) és \(\displaystyle x=1\), a hányados pedig \(\displaystyle \frac{T_6}{T}=4\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac23\).

Statisztika:

96 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Cseh Noémi, Csorba Benjámin, Édes Lili, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Geretovszky Anna, Horcsin Tamás, Horváth András János, Kasó Ferenc, Kis 999 Alexandra, Komoróczy Ádám, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács-Deák Zsombor, Lévay Mátyás, Marozsák Tóbiás , Matusek Márton, Molnár 410 István, Nagy 911 Viktória, Nagy Marcell, Nagy Viktor, Németh Csilla Márta, Páhoki Tamás, Póta Balázs, Pszota Máté, Richlik Róbert, Sebe Anna, Simon Ákos, Sudár Ákos, Szauer Marcell, Szécsényi Júlia, Szilágyi Éva, Tatai Mihály, Tóth 111 Máté , Török Réka , Tubak Dániel, Weisz Máté, Zsombó István.
4 pontot kapott:	Garamvölgyi István Attila, János Zsuzsa Anna, Mályusz Attila, Sal Dávid.
3 pontot kapott:	29 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai