Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1354. feladat (2016. április)

C. 1354. Egy egységsugarú körben n darab (n>2) egyforma kis kör úgy helyezkedik el, hogy mindegyik belülről érinti az egységsugarú kört és érintik mindkét szomszédjukat is. A kis körök mekkora hányadát fedik le az egységsugarú kör területének? Számítsuk is ki n=3, 4 és 6 esetén a kérdéses hányadost.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Vegyünk két szomszédos kört, középpontjukat jelölje O1 és O2, érintsék egymást a P pontban. Ekkor az OP egyenes a két kör közös érintője. Mivel egy kör középppontjából az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, ezért OPO1=OPO2=90. Tehát O1, P és O2 egy egyenesen vannak, OP az O1O2 szakasz felező merőlegese. A kis körök sugarát jelölje r, és legyen A2A1=x.

Felhasználva, hogy A2OA1=2π/n, írjuk fel a koszinusz-tételt az A1A2O háromszögre:

x2=12+12212cos2πn=22cos2πn.

Ebből x=22cos2πn.

Mivel az O1O2O és az A1A2O háromszög egyenlő szárú, és a háromszögek szárai egybeesnek, a két háromszög hasonló. Ebből következik, hogy megfelelő oldalaik aránya megegyezik:

O1O2A1A2=O2OA2O,

azaz 2rx=1r1, amiből 2r=xrx, majd r=x2+x következik. Ebből már felírható a keresett hányados:

TnT=nr2π12π=nr2=n(22cos2πn2+22cos2πn)2.

Ha n=3, akkor cos2π3=0,5, amiből x2=2+1=3 és x=3. Ebből T3T=3(32+3)2=63363.

Ha n=4, akkor cos2π4=0, amiből x2=2 és x=2, az arány pedig T4T=4(22+2)2=1282.

Végül n=6 esetén cos2π6=0,5, amiből x2=21=1 és x=1, a hányados pedig T6T=4(13)2=23.


Statisztika:

96 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Cseh Noémi, Csorba Benjámin, Édes Lili, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Geretovszky Anna, Horcsin Tamás, Horváth András János, Kasó Ferenc, Kis 999 Alexandra, Komoróczy Ádám, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács-Deák Zsombor, Lévay Mátyás, Marozsák Tóbiás , Matusek Márton, Molnár 410 István, Nagy 911 Viktória, Nagy Marcell, Nagy Viktor, Németh Csilla Márta, Páhoki Tamás, Póta Balázs, Pszota Máté, Richlik Róbert, Sebe Anna, Simon Ákos, Sudár Ákos, Szauer Marcell, Szécsényi Júlia, Szilágyi Éva, Tatai Mihály, Tóth 111 Máté , Török Réka , Tubak Dániel, Weisz Máté, Zsombó István.
4 pontot kapott:Garamvölgyi István Attila, János Zsuzsa Anna, Mályusz Attila, Sal Dávid.
3 pontot kapott:29 versenyző.
2 pontot kapott:13 versenyző.
1 pontot kapott:9 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.

A KöMaL 2016. áprilisi matematika feladatai