A B. 3684. feladat tanulságai

B. 3684. Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldala, a és b, továbbá tudjuk, hogy (a szokásos jelölésekkel) =3.

(A feladat a 2003. decemberi számban jelent meg.

A megoldók közül a legtöbben helyesen leírták a szerkesztés egy lehetséges menetét (a többség a fenti megoldáshoz hasonlót) és az ahhoz vezető gondolatmenetet. A szerkesztési feladathoz azonban a diszkusszió is hozzátartozik, így teljes pontszámot, 3 pontot csak azok kaptak, akik a szerkesztés lépései mellett a megoldás létezésének feltételét (b<a<3b) is meghatározták. Sokan ezt egyáltalán nem vizsgálták, vagy hiányos eredményre jutottak, ez az oka a kétpontos dolgozatok nagy számának.

Többször előfordult, hogy diszkusszióként csak annyi szerepelt a dolgozatban, hogy nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van, ezért b<a. Mások, amikor azt vizsgálták, lehet-e három adott szakaszból (b, b, b-a) háromszöget szerkeszteni, a háromszög-egyenlőtlenséget csak az egyik oldalra írták fel (például: b+(a-b)>b, azaz a>b). Pedig ahhoz, hogy a szükséges és elegendő feltételt megkapjuk, a háromszög-egyenlőtlenséget mindhárom oldalra fel kell írni.

Voltak, akik a szinusz- vagy a tangenstétel alkalmazásával fogtak hozzá a feladat megoldásához. Ezekben a dolgozatokban többször előfordult egy tanulságos hiányosság: nem elég kiszámolni egy szakasz hosszát vagy egy szög nagyságát, azt is le kell írni, hogy ennek alapján hogyan végezhető el a szerkesztés. Ez gyakran egyszerű módszerekkel elvégezhető. Szakaszokat szorozni, osztani a párhuzamos szelők tételének segítségével, négyzetgyököt vonni a magasság- és a Thalész-tétel felhasználásával lehet. Ha pedig egy szög szinuszát vagy koszinuszát megszerkesztettük, a szögfüggvények tulajdonságai és a Thalész-tétel alapján magát a szöget is megszerkeszthetjük. (Mindehhez szükség van egy egységszakasz felvételére is.) Ezek az eredmények elegendőek voltak ehhez a feladathoz, többen így adtak helyes megoldást, és a szerkeszthetőség feltételét is meghatározták. De előfordulhat az is, hogy a számolásból nem adódik a szerkesztés, klasszikus példa erre a szögharmadolás vagy a köbgyökvonás. Ezért a ,,kiszámoltuk \(\displaystyle \beta\)-t, ebből a háromszög megszerkeszthető'' típusú megoldás hiányos, nem ért teljes pontszámot.

Ezek a hiányosságok a szerkesztési feladatok olyan sajátosságaira mutatnak rá, amelyekre mindig érdemes odafigyelni.

Backhausz Ágnes

egyetemi hallgató, ELTE TTK