![]() |
Dinnyék rendezése |
A dinnyeárusnak az a mániája, hogy görögdinnyéit, amelyek tökéletesen gömb alakúak, a vízszintes síklapú piaci kőasztalon az asztal hosszában egyenes sorba rakja úgy, hogy a sor belsejében mindegyik dinnye két szomszédjához ér hozzá, és azok a pontok, ahol a dinnyék az asztallaphoz érnek, egy egyenesen helyezkednek el.
Egy reggel, amikor kocsijában tizenegy gömb alakú dinnyével
megérkezik a piacra, és még nem rakta ki azokat a maga módján, odamegy
hozzá a piaci díjbeszedő és sorra megméri a dinnyék átmérőjét,
amelyeket a következőknek talál: d1=16 cm,
d2=18 cm, d3=22 cm,
d4=26 cm, d5=28 cm,
d6=30 cm, d7=34 cm,
d8=36 cm, d9=38 cm,
d10=40 cm,
d11=42 cm. Ezeket összeadja és közli, hogy az
árusnak az átmérők összege, vagyis 330 cm után kell helyfoglalási
díjat fizetnie. A dinnyeárus ezt nem fogadja el, mondván, hogy ő
a dinnyéit az ő mániája szerint ennél rövidebb sorba tudja rendezni az
asztalon. Számítsa ki a díjbeszedő a dinnyék méretének ismeretében,
hogy milyen hosszú lesz a belőlük összeállítható legrövidebb
dinnyesor, s akkor majd annyiért fizet. Erre a díjbeszedő azt mondja,
látom, szereti a matematikát; nos jól van, én kiszámítom a legrövidebb
dinnyesor hosszát, vagyis annak a síkbeli alakzatnak a kombinatorikus
geometriai átmérőjét, amely a megfelelően elrendezett és egymást
érintő dinnyék asztalra vett merőleges vetületeinek mint halmazoknak
az uniója, ha ön viszont igazolja, hogy ez a hosszúság adott
r1\(\displaystyle le\)r2\(\displaystyle le\)r3...
rn-1\(\displaystyle le\)rn sugarú n
darab dinnye esetén akkor a legkisebb, ha a
\(\displaystyle D=\left(\sqrt{r_{k_1}}-\sqrt{r_{k_2}}\right)^2+\left(\sqrt{r_{k_2}}-\sqrt{r_{k_3}}\right)^2+\left(\sqrt{r_{k_3}}-\sqrt{r_{k_4}}\right)^2+\)
\(\displaystyle +\left(\sqrt{r_{k_4}}-\sqrt{r_{k_5}}\right)^2+\dots+\left(\sqrt{r_{k_{n-1}}}-\sqrt{r_{k_n}}\right)^2\)
összeg a legnagyobb; ahol tehát rk1,rk2,rk3,...,rkn-1,rkn az egyes, egymással érintkező dinnyék gömbsugarát jelöli, és ezen belül k1,k2,k3,...,kn-1,kn indexek az 1,2,3,...,n-1,n számok egyik, a minimumot előállító, megfelelő permutációját jelentik. Segítsünk nekik!
Megoldás: A dinnyesor két szomszédos dinnyéjére az ábra szerint igaz, hogy az asztalon lévő érintkezési pontjaik távolsága \(\displaystyle AB=x=2\sqrt{ab}\), ahol a és b a két gömb sugara. Ennek alapján a feladatban meghatározott dinnyesor hossza:
\(\displaystyle L=r_{l_1}+2\sqrt{r_{l_1}r_{l_2}}+2\sqrt{r_{l_2}r_{l_3}}+2\sqrt{r_{l_3}r_{l_4}}+2\sqrt{r_{l_{n-1}}r_{l_n}}+r_{l_n},\)
ahol
rl1,rl2,rl3,...,rln,rln
a dinnyék r1\(\displaystyle le\)r2r3\(\displaystyle le\)...\(\displaystyle le\)rn-1
rn gömbsugarai valamilyen
sorrendben.
A legrövidebb dinnyesorban a dinnyék úgy következnek egymás után, hogy a fenti összeg a legkisebb legyen.
Tekintsük a dinnyék átmérőinek összegét, amely legyen
H=2(r1+r2+r3+r4+...+rn1+rn).
Vonjuk ki a belőle a fentebb kapott L összeget:
2(r1+r2+r3+r4+...+rn-1+rn)-
\(\displaystyle -\left(r_{l_1}+2\sqrt{r_{l_1}r_{l_2}}+2\sqrt{r_{l_2}r_{l_3}}+2\sqrt{r_{l_3}r_{l_4}}+\dots+2\sqrt{r_{l_{n-1}}r_{l_n}}+r_{l_n}\right)\)
A kisebbítendő tagjait át lehet rendezni abba a sorrendbe, amilyen sorrendben a kivonandóban szerepelnek:
2(rl1+rl2+rl3+...+rln1+rln)-
\(\displaystyle -\left(r_{l_1}+2\sqrt{r_{l_1}r_{l_2}}+2\sqrt{r_{l_2}r_{l_3}}+2\sqrt{r_{l_3}r_{l_4}}+\dots+2\sqrt{r_{l_{n-1}}r_{l_n}}+r_{l_n}\right)\)
A kivonás elvégzése utána a maradék:
\(\displaystyle D=H-L=r_{l_1}-2\sqrt{r_{l_1}r_{l_2}}+r_{l_2}+r_{l_2}-2\sqrt{r_{l_2}r_{l_3}}+r_{l_3}+r_{l_3}\,-\)
\(\displaystyle -2\sqrt{r_{l_3}r_{l_4}}+r_{l_4}+\dots+r_{l_{n-1}}-2\sqrt{r_{l_{n-1}}r_{l_n}}+r_{l_n},\)
amely viszont a következőképpen írható:
\(\displaystyle D=\left(\sqrt{r_{l_1}}-\sqrt{r_{l_2}}\right)^2+\left(\sqrt{r_{l_2}}-\sqrt{r_{l_3}}\right)^2+\left(\sqrt{r_{l_3}}-\sqrt{r_{l_4}}\right)^2+\dots+\left(\sqrt{r_{l_{n-1}}}-\sqrt{r_{l_n}}\right)^2.\)
A legrövidebb dinnyesor tehát akkor adódik, ha ez utoljára kapott négyzetösszeg maximális. Ezzel megoldottuk a dinnyeárusra a díjbeszedő által kirótt feladatot.
A díjbeszedő feladatát, vagyis a legrövidebb dinnyesor hosszának megállapítását elvileg úgy oldhatjuk meg, hogy a 11 dinnye minden lehetséges sorrendjét előállítjuk, és megkeressük a legrövidebb sor hosszát. Ennek gyakorlati kivitele hosszadalmas, hiszen 11!=39 916 800 lehetséges sorrendje van a dinnyéknek. A feladatnak ezt a részét is az imént kapott négyzetösszeg útmutatása alapján oldhatjuk meg. Ebben a sugarak négyzetgyökei különbségének négyzetösszege szerepel. Ebből következik, hogy nagy sugarú dinnyék szomszédságában kis sugarúakat kell elhelyezni, amelyre nézve az |ri-1-ri|+|ri-ri+1| tájékoztató összeg nagyobb számot ad.
Ennek megfelelően tegyük középre a legnagyobb sugarú dinnyét, és
tegyük két oldalára a két legkisebb sugarút. Ezek mellé -- kifelé
folytatva a sort -- tegyük a következő két legnagyobbat, majd melléjük
a következő két legkisebbet, aztán megint a két maradék legnagyobbat,
majd a két közepes méretűt a sor két végére; végig figyelve az kritérium
érvényesülésére. Ezzel az eljárással az alábbi sorozathoz jutunk:
Azaz
l1=6, l2=7, l3=4, l4=9, l5=2, l6=11,
l7=1, l8=10, l9=3, l10=8, l11=5.
\(\displaystyle L=r_6+2\bigg(\sqrt{r_6r_7}+\sqrt{r_7r_4}+\sqrt{r_4r_9}+\sqrt{r_9r_2}+\sqrt{r_2r_{11}}+\sqrt{r_{11}r_1}+\)
\(\displaystyle +\sqrt{r_1r_{10}}+\sqrt{r_{10}r_3}+\sqrt{r_3r_8}+\sqrt{r_8r_5}\bigg)+r_5=316{,}528\;379\;8{\rm\ cm.}\)
Ezzel az elrendezéssel az egész dinnyesorra képezett
\(\displaystyle Delta\)=|rl1-rl2|+|rl2-rl3|+|rl3-rl4|+...+|rln-2-rln-1|+|rln-1-rln|
összeg értéke 79; a
\(\displaystyle D=\left(\sqrt{r_{l_1}}-\sqrt{r_{l_2}}\right)^2+\left(\sqrt{r_{l_2}}-\sqrt{r_{l_3}}\right)^2+\left(\sqrt{r_{l_3}}-\sqrt{r_{l_4}}\right)^2+\dots+\left(\sqrt{r_{l_{n-1}}}-\sqrt{r_{l_n}}\right)^2\)
összeg 13,4716202 cm. Természetesen L+D=H.
Az, hogy a fenti elrendezés a lehetséges legrövidebb sor, az eddigiekből még nem következik. Olvasóinktól várunk egy bizonyítást, vagy egy még rövidebb dinnyesort ....
Légrádi Imre, Sopron