Radnai Márton: Egy csodálatos elmélet - a Nash-egyensúly (A cikk teljes szövegét Olvasóink megtalálhatják a KöMaL nyomtatott változatában.)

A magyar mozik nemrég játszották az ,,Egy csodálatos elme'' című amerikai játékfilmet, amely John F. Nash matematikus életéről szól, aki Harsányi Jánossal és Reinhard Selten-nel együtt 1994-ben elnyerte a közgazdasági Nobel-díjat. A nagy sikerű film azonban nem annyira Nash munkásságával, sokkal inkább betegségével foglalkozott, így kevés derült ki arról, miért is kapott Nash Nobel-díjat. E rövid cikkben ezt próbáljuk meg néhány egyszerű példán keresztül bemutatni.

Nem-kooperatív játékelmélet

Nash fő eredményét a nem kooperatív játékelmélet területén érte el, amely olyan stratégiai játékokkal (más néven: szituációkkal) foglalkozik, ahol a játékosokról (más néven: aktorokról) feltesszük, hogy nem kötnek megállapodásokat egymással, más szóval az egyes játékosokat, nem pedig csoportjaikat tesszük a vizsgálat tárgyává. Feltesszük továbbá, hogy minden játékos ismeri a saját maga és a többi játékos által választható lehetőségeket (más néven: stratégiákat), és az ezekhez a lehetőségekhez tartozó hasznosságokat (más néven: kifizetéseket). Emellett minden szereplő tudja mindezt, sőt azt is, hogy ezeknek az információknak a többi játékos is birtokában van.

A játékokat leggyakrabban úgynevezett normál (egyes irodalmakban: stratégiai) alakban írják fel, ahol egy táblázatban jelölik azt, hogy az egyes stratégiák választása mekkora hasznosságot eredményez az azt választó játékos számára. Vegyük például az alábbi klasszikus kétszemélyes játékot, melyet általában fogolydilemma néven emlegetnek: két betörőt, aki együtt követett el egy rablást elfognak, és külön-külön (egyidőben) vallatni kezdik őket. Mindkettőjüknek a következő alkut ajánlják: ha azt vallja, hogy a másik követte el a rablást, a másik börtönbe kerül, ő pedig pénzjutalmat kap. Ha mindketten a másikra vallanak, akkor mindketten börtönbe kerülnek és pénzjutalmat is kapnak, míg ha egyikük sem vall, mindketten szabadon maradnak, de pénzjutalomban nem részesülnek.

A játékot az alábbi táblázattal írhatjuk le (a két játékost nevezzük Sor-nak és Oszlop-nak.):

Sor stratégiáit (vall, nem vall) a vízszintes sorok, míg Oszlop stratégiáit (vall, nem vall) a függőleges oszlopok mutatják. A táblázatban szereplő két szám közül az első Sor, míg a második Oszlop hasznosságait tartalmazza; ezek a számok úgy jöttek létre, hogy a szabadon bocsátáshoz 3000-et, a pénzjutalomhoz pedig 1000-et rendeltünk hozzá. A jobb felső cellát tehát így olvashatjuk: ha Sor nem vall, Oszlop viszont vall, akkor Sor számára nulla, míg Oszlop számára 4000 egység lesz a játék hasznossága.

------  ------