Az A. 379. feladat (2005. szeptember)

A. 379. Határozzuk meg az összes olyan $\lambda$ valós számot, amelyhez létezik olyan 0-tól különböző P polinom, hogy tetszőleges n pozitív egészre

$\frac{P(1)+P(3)+P(5)+\dots+P(2n-1)}{n} = \lambda P(n).$

Írjuk fel az összes ilyen polinomot $\lambda$ =2 esetén.

Vojtech Jarnik matematikaverseny, Ostrava, 2005

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Legyen P(x)=a₀+a₁x+...+a_kx^k. Az egyenlet mindkét oldalán n-nek egy-egy k-adfokú polinomja áll; ezeknek együtthatónként meg kell egyezniük.

Mivel $\lim\frac{1^k+3^k+\dots+(2n-1)^k}{n^{k+1}}=\frac{2^k}{k+1},$ az n^k együtthatója a baloldalon $\frac{2^k}{k+1}a_k$ , a jobboldalon pedig $\lambda$ a_k. Tehát $\lambda=\frac{2^k}{k+1}$ . Ha $\lambda$ ilyen alakú, akkor a P együtthatóit egy homogén lineáris egyenletrendszer szabja meg, amelyben az egyik egyenlet teljesen eltűnik; az egyenletrendszernek tehát végtelen sok megoldása van.

A $\lambda$ =2 esetben P(x)=c(x³-x).

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Erdélyi Márton, Estélyi István, Gyenizse Gergő, Kónya 495 Gábor, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland, Tomon István.

4 pontot kapott: Jankó Zsuzsanna, Molnár 999 András.

3 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Erdélyi Márton, Estélyi István, Gyenizse Gergő, Kónya 495 Gábor, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland, Tomon István.
4 pontot kapott:	Jankó Zsuzsanna, Molnár 999 András.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?