Az A. 386. feladat (2005. december)

A. 386. Egy O középpontú derékszögű hiperbolának rajzoljuk meg az egyik ágát, és azon válasszunk ki egy tetszőleges P pontot. A P középpontú, 2OP sugarú kör messe a hiperbolaágat a Q és R pontokban. Igazoljuk, hogy .

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. január 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Helyezzük el az ábrát a derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy a hiperbola egyenlete xy=1 legyen, a hiperbolaág az I. síknegyedbe essen, és rajzoljuk meg a hiperbola másik ágát is. A kör összesen négy pontban metszi a hiperbolát; az egyik metszéspont éppen a P pont O-ra vonatkozó tükörképe, P'. A negyedik metszéspont legyen S.

Legyen P=(a,b), ahol ab=1 és keressük a hiperbola és a kör további metszéspontjait. Egy (x,y) pont akkor metszéspont, ha teljesül rá mindkét egyenlet, azaz

xy=1;

(x-a)²+(y-b)²=4(a²+b²).

A második egyenletben helyettesítsünk y=1/x-et, majd szorozzuk végig az egyenletet x²-tel:

x⁴-2ax³-3(a²+b²)x²-2bx+1=0.

Ennek a negyedfokú egyenletnek a gyökei a P'=(-a,-b), Q=(q₁,q₂), R=(r₁,r₂), S=(s₁,s₂) pontok abszcisszái, azaz -a, q₁, r₁ és s₁.

Az első Viéta-formula alapján a gyökök összege 2a, tehát

Az x és y, illetve a és b szereplének felcserélésével pedig azt kapjuk, hogy

Az (1) és (2) egyenletek együtt azt mondják, hogy a QRS háromszög súlypontja éppen P. Ugyanakkor a P pont a körülírt kör középpontja is. A súlypont és a körülírt kör középpontja csak akkor eshet egybe, ha a háromszög szabályos. A QRS háromszög tehát szabályos és P a középpontja, követykezésképpen QPR=120^o.

Megjegyzés. A feladatban leírt eljárás valójában a Bolyai János féle szögharmadolás.

Statisztika:

14 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bogár 560 Péter, Erdélyi Márton, Estélyi István, Hujter Bálint, Jankó Zsuzsanna, Kisfaludi-Bak Sándor, Kónya 495 Gábor, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland, Szakács Nóra, Tomon István.
4 pontot kapott:	Dücső Márton.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai