Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 391. feladat (2006. január)

A. 391. Mutassunk példát olyan, pozitív valós számokból álló a₁,a₂,...,a_N sorozatra, amelyre tetszőleges $1=n_0<n_1<\ldots<n_k=N$ pozitív egészek esetén

$n_1a_{n_0}+n_2a_{n_1}+\ldots+n_ka_{n_{k-1}}>2{,}7(a_1+a_2+\ldots+a_N).$

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen N elegendően nagy (Később pontosabban definiáljuk), és $a_n=\frac1n$ . Ekkor

$a_1+a_2+\dots+a_N=1+\frac12+\frac13+\dots+\frac1N>1+\log N$

és tetszőleges 1=n₀<n₁<...<n_k=N esetén

$n_1a_{n_0}+n_2a_{n_1}+\ldots+n_ka_{n_{k-1}}= \frac{n_1}{n_0}+\frac{n_2}{n_1}+\dots+\frac{n_k}{n_{k-1}} \ge$

$\ge k\root{k}\of{\frac{n_1}{n_0}\cdot\frac{n_2}{n_1}\cdot\dots\cdot\frac{n_k}{n_{k-1}}} =k\root{k}\of{\frac{n_k}{n_0}}= k\root{k}\of{N}=\frac{N^{1/k}}{1/k}.$

Deriválással ellenőrizhető, hogy a pozitív valós számokon értelmezett $\frac{N^t}{t}$ függvény minimuma a $t=\frac1{\log N}$ pontban van, értéke e^.log N. Ezért

$n_1a_{n_0}+n_2a_{n_1}+\ldots+n_ka_{n_{k-1}}\ge \frac{N^{1/k}}{1/k}\ge e\cdot \log N.$

Ha $\log N>\frac{2,7}{e-2,7}$ , akkor e^.log N>2,7^.(1+log N).

Statisztika:

4 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Paulin Roland, Tomon István.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2006. januári matematika feladatai

4 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Paulin Roland, Tomon István.
0 pontot kapott:	2 versenyző.