Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 432. feladat (2007. szeptember)

A. 432. Határozzuk meg mindazokat az a egész számokat, amikhez léteznek olyan különböző x, y pozitív egészek, amikre (ax2+1)2 osztható (axy+1)-gyel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy a kívánt x,y egészek akkor és csak akkor léteznek, ha a\ge-1.

Az a=-1 esetben x=1 és y=2 megfelelő, mert (ax2+1)2=0.

Az a\ge0 esetén pedig x=1, y=a+2 megfelelő, mert x<y és (ax2+1)2=axy+1=(a+1)2.

Azt kell még megmutatnunk, hogy a<-1 esetén nem létezik a kívánt (x,y) számpár. Ezt indirekten bizonyítjuk be. Legyen b=|a|\ge2. Nevezzük a pozitív egészekből álló (x,y) párt rossznak,, ha x\ney és (ax2+1)2=(bx2-1)2 osztható |axy+1|=(bxy-1)-gyel.

Tegyük fel indirekte, hogy létezik rossz számpár, és tekintsük ezek közül azt, amiben x a lehető legkisebb; ha több ilyen van, akkor ezek közül azt, amiben y a lehető legkisebb.

1. eset: x>y. Mivel

1 \equiv bxy \equiv (bxy)^2 \pmod{bxy-1}

és

(by^2-1)^2 \equiv \big(by^2-(bxy)^2\big)^2 = b^2y^4(bx^2-1)^2 \pmod{bxy-1},

a (by2-1)2 szám is osztható (bxy-1)-gyel. Vagyis az (y,x) számpár is rossz. Mivel y<x, ez ellentmond annak, hogy a lehető legkisebb x-et választottuk.

2. eset: x<y. Tekintsük a c=\frac{(bx^2-1)^2}{bxy-1} számot. A számláló és a nevező is pozitív, mert b\ge2 és x,y>0. Az oszthatóság miatt c pozitív egész szám. Modulo bx vizsgálva

c \equiv -c(bxy-1) = -(bx^2-1)^2 \equiv -1 \pmod{bx},

tehát c=bxz-1 egy alkalmas pozitív egész z számmal; behelyettesítve

(bx2-1)2=(bxy-1)(bxz-1).

Mivel x<y, az is teljesül, hogy z<x, különben a jobboldal nagyobb lenne a baloldalnál. Ekkor viszont az (x,z) számpár is rossz. Mivel z<x<y, ez ellentmond annak, hogy az adott x-hez a lehető legkisebb y-t választottuk.

Mindkét esetben ellentmondásra jutottunk, rossz számpár nem létezik a<-1 esetén.

Statisztika:

11 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Korándi Dániel, Lovász László Miklós, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Tomon István, Wolosz János.
4 pontot kapott:Huszár Kristóf.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2007. szeptemberi matematika feladatai