Az A. 436. feladat (2007. október)

A. 436. Bizonyítsuk be, hogy

$\big| \big\{n\sqrt2\,\big\} - \big\{n\sqrt3\,\big\}\big| > \frac1{20n^3}$

tetszőleges pozitív egész n esetén.

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $t=\big\{n\sqrt2\,\big\}-\big\{n\sqrt3\,\big\}$ és $k=\big[n\sqrt3\big]-\big[n\sqrt2\big]$ . Ekkor $t=k-\big(\sqrt3-\sqrt2\big)n\ne0$ , mert $\sqrt3-\sqrt2=\sqrt{5-2\sqrt6}$ irracionális.

A t számot szorozva és osztva a $\sqrt2$ és $\sqrt3$ előjelének felcserélésével kappható kifejezésekkel,

$t = \frac{ \big(k-(\sqrt3-\sqrt2)n\big)\big(k-(\sqrt3+\sqrt2)n\big) \big(k+(\sqrt3-\sqrt2)n\big)\big(k+(\sqrt3+\sqrt2)n\big)}{ \big(k-(\sqrt3+\sqrt2)n\big)\big(k+(\sqrt3-\sqrt2)n\big) \big(k+(\sqrt3+\sqrt2)n\big)} =$

$= \frac{k^4-10k^2n^2+n^4}{ \big(t-2\sqrt2n\big)\big(t+2(\sqrt3-\sqrt2)n\big)\big(t+2\sqrt3n\big)}.$

A számláló 0-tól különböző egész szám. Ha $|t|\le\frac1{20}$ , akkor a nevezőben

$\big|t-2\sqrt2n\big| \le 2\sqrt2n+\frac1{20} \le \left(2\sqrt2+\frac1{20}\right)n,$

$\big|t+2(\sqrt3-\sqrt2)n\big| \le 2(\sqrt3-\sqrt2)n+\frac1{20} \le \left(2\sqrt3-2\sqrt2+\frac1{20}\right)n$

és

$\big|t+2\sqrt3n\big| \le 2\sqrt3n+\frac1{20} \le \left(2\sqrt3+\frac1{20}\right)n,$

tehát

$|t| \ge \frac1{ \big(2\sqrt2+\frac1{20}\big) \big(2\sqrt3+2\sqrt2-\frac1{20}\big) \big(2\sqrt3+\frac1{20}\big)n^3} > \frac1{7n^3}.$

Összességében azt kaptuk, hogy

$|t| \ge \min\left(\frac1{20},\frac1{7n^3}\right) \ge \frac1{20n^3}.$

Statisztika:

7 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Korándi Dániel, Lovász László Miklós, Nagy 235 János, Tomon István.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai

7 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Korándi Dániel, Lovász László Miklós, Nagy 235 János, Tomon István.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?