Az A. 478. feladat (2009. március)

A. 478. Bizonyítsuk be, hogy ha $a_1,a_2,\ldots,a_n$ pozitív számok és $a_1+a_2+\ldots+ a_n=1$ , akkor

$a_1\cdot a_2^{2/3}+a_2\cdot a_3^{2/3}+\ldots+a_{n-1}\cdot a_n^{2/3}<\frac37\,.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. április 15-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Legyen

$S = a_1\cdot a_2^{2/3}+a_2\cdot a_3^{2/3}+\ldots+a_{n-1}\cdot a_n^{2/3}.$

Alkalmazzuk a Hölder-egyenlőtlenséget az (a_i^1/3) és az (a_ia_i+1)^1/3 sorozatokra (i=1,2,...,n-1), a p=3 és q=3/2 kitevőkkel:

$S = \sum_{i=1}^{n-1} a_i^{1/3}\Big(a_i^{2/3}a_{i+1}^{2/3}\Big) \le \left(\sum_{i=1}^{n-1} \Big(a_i^{1/3}\Big)^3 \right)^{1/3} \left(\sum_{i=1}^{n-1}\Big((a_ia_{i+1})^{2/3}\Big)^{3/2}\right)^{2/3} =$

$= \left(\sum_{i=1}^{n-1} a_i \right)^{1/3} \left(\sum_{i=1}^{n-1} a_ia_{i+1}\right)^{2/3}.$

A $\sum_{i=1}^{n-1}a_i<\sum_{i=1}^na_i=1$ és

$\sum_{i=1}^{n-1} a_ia_{i+1} \le \left( \sum_{i\equiv0~(2)} a_i \right) \left( \sum_{j\equiv1~(2)} a_j \right) \le \left(\frac{ \left( \sum\limits_{i\equiv0~(2)} a_i \right) + \left( \sum\limits_{j\equiv1~(2)} a_j \right) }2\right)^2=\frac14$

becslésekből azt kapjuk, hogy

$S < \left(\frac14 \right)^{2/3} = \frac1{2\root3\of2} < 0,3969 < \frac37.$

Nagy János dolgozata alapján

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Tomon István.

A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai

3 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Tomon István.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?