Az A. 495. feladat (2009. december)

A. 495. Az ABC hegyesszögű háromszögben BAC $\angle$ = $\alpha$ . A D pont a háromszög belsejében, a BAC szög felezőjén, a E pont az AB oldalon, az F pont pedig a BC oldalon helyezkedik el úgy, hogy BDC $\angle$ =2 $\alpha$ , $AED\angle= 90^\circ+\frac{\alpha}{2}$ , és BEF $\angle$ =EBD $\angle$ . Határozzuk meg a BF:FC arányt.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Legyen E tükörképe az AD szögfelezőre G. Tükrözzük a D pontot pontot az AB és AC egyenesekre; jelöljük a két tükörképet U-val, illetve V-vel. Az UE, DE, DG, és VG szakaszok egymás tükörképei, ezért UE=DE=DG=VG.

Az AEDG deltoidban összeszámolva a szögeket, $AEG\angle=AGE\angle=90^\circ-\frac\alpha2$ és $DEG\angle=DGE\angle=AED\angle-AEG\angle= \bigg(90^\circ+\frac\alpha2\bigg)- \bigg(90^\circ-\frac\alpha2\bigg) =\alpha$ .

A BDE és BUE, illetve a CDG és CVG háromszögek egybevágóak, $BEU\angle=BED\angle=180^\circ-AED\angle=90^\circ-\frac\alpha2$ , illetve $CGU\angle=CGD\angle=180^\circ-AGD\angle=90^\circ-\frac\alpha2$ .

Mivel BEU $\angle$ =AEG $\angle$ és CGV $\angle$ =AGE $\angle$ , az U, E, G és V pontok egy egyenesre esnek.

Legyen BEF $\angle$ =BDE $\angle$ =EBU $\angle$ =x és CGF $\angle$ =CDG $\angle$ =GCV $\angle$ =z. Az ABDC konkáv négyszög és az ABC háromszög szögeinek összegéből x+y=360^o- $\alpha$ -(360^o-2 $\alpha$ )= $\alpha$ , és

UBC $\angle$ +BCV $\angle$ =(ABC $\angle$ +x)+(ACB $\angle$ +y)=180^o,

vagyis a BU és CV egyenesek párhuzamusak. Mivel EBU $\angle$ =VEF $\angle$ , az EF egyenes is párhuzamos velük.

A párhuzamos szelők tétele szerint tehát

$\frac{BF}{FC} = \frac{UE}{EV} = \frac{UE}{DE\cdot\cos\alpha+DG\cdot\cos\alpha+GV} = \frac{1}{2\cos\alpha + 1}.$

Statisztika:

5 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Bodor Bertalan, Éles András, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát.

2 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai

5 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bodor Bertalan, Éles András, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?