Az A. 500. feladat (2010. február) |
A. 500. Adottak a térben az , és forgási ellipszoidfelületek, amelyeket egy-egy ellipszisnek a nagytengelye körüli körbeforgatásával kaphatunk, és egy sík. A három ellipszoid egyik fókusza közös. Tegyük fel, hogy minden egyes i=1,2,3-ra az és felületeknek pontosan két közös pontja van az síkkal, és jelöljük i-vel a két közös pontot összekötő egyenest.
Mutassuk meg, hogy az 1, 2 és 3 egyenesek egy ponton mennek át vagy párhuzamosak.
Kornis Kristóf (Budapest) ötletéből
(5 pont)
A beküldési határidő 2010. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás.
Lemma. Tegyük fel, hogy forgási ellipszoidfelület, amelyet egy ellipszisnek a nagytengelye körüli körbeforgatásával kaphatunk, és amelynek egyik fókuszpontja F. Ekkor létezik olyan lineáris függvény, amelyre az X pont akkor és csak akkor illeszkedik az ellipszoidfelületre, ha FX=f(X).
Bizonyítás. Az állítás független a koordinátarendszertől, ezért elég a lemmát abban a helyzetben igazolni, amikor az ellipszoidfelület két fókusza F=(0,0,0) és G=(g,0,0). Az ellipszoid nagytengelyének hossza legyen h>g.
Ha az X=(x,y,z) pont rajta van a felületen, akkor
GX=h-FX | (1) |
(2) |
(3) |
FX2-2gx+g2=h2-2h.FX+FX2 | (4) |
(5) |
A megfordításhoz tekintsünk egy olyan X pontot, amire (5) teljesül. Először azt bizonyítjuk, hogy FX<h.
Ezek után az (1)-(5) lépéseket elmondhatjuk visszafelé is, nert (3) mindkét oldalán nemnegatív szám áll.
A lemma tehát teljesül az lineáris függvényre. Ezzel a lemmát igazoltuk.
Legyen F az , és ellipszoidok közös fókuszpontja, és minden egyes i=1,2,3-re fi az a lineáris függvény, amire FX=f1(X) az felület egyenlete.
Az és ellipszoidok közös pontjaira teljesül, hogy
FX=fi+1(X), | (6) |
FX=fi+2(X), | (7) |
tehát
fi+1(X)-fi+2(X)=0. | (8) |
Mivel a két ellipszoid különböző, az fi+1-fi+2 lineáris függvény nem lehet azonosan nulla, tehát és (8) egy sík egyenlete. Jelöljük ezt a síkot Pi-vel.
A (6), (7) és (8) egyenletek közül bármelyik kettőből következik a harmadik. Ha tehát az X pont rajta van az egyik ellipszoidon és a Pi síkon, akkor X rajta van a másik ellipszoidon is. A két ellipszoid közös pontjai tehát a Pi síkon vannak.
A feladat feltevése szerint és ellipszoidoknak egynél több közös pontja van, mert például az síkban is van kettő. A Pi sík tehát metszi -et és -t, és végtelen sok közös pontjuk van. Mivel a vételen sok közös pont közül csak kettő esik az síkra, a Pi és síkok különbözőek, és az i egyenesen metszik egymást.
A P1,P2,P3 síkok egyenleteinek összege nulla:
(f2(X)-f3(X))+(f3(X)-f1(X))+(f1(X)-f2(X))-0.
Ha tehát egy X pont rajta a három sík közül valamelyik kettőn, akkor rajta van a harmadikon is. A három sík tehát vagy egy egyenesre illeszkedik, vagy párhuzamos, vagy pedig egybeesik.
Az 1, 2, 3, egyenesek a síkban fekszenek. Ha valamelyik i=1,2,3-ra az i és i+1 egyenesnek van egy K közös pontja, akkor K illeszkedik a Pi és Pi+1 síkoknak. Ha viszont K közös pontja a Pi és Pi+1 síkoknak, akkor K illeszkedik a Pi+2 síkra is. A K tehát rajta van a S és Pi+2 síkokon, tehát rajta van az i+2 egyenesen is.
Az 1, 2, 3, egyenesek tehát egy ponton mennek át, párhuzamosak vagy egybeesnek.
Megyjegyzés. A Lemma állítását a következőképpen is megfogalmazhatjuk: létezik egy olyan D irányított sík és egy 0<e<1 valós szám, amire az X pont akkor és csak akkor van rajta az ellipszoidon, ha
d(D,X)=e.FX.
(d(D,X) jelöli a D-től mért előjeles távolságot.)
Síkban ez jól ismert. Általában, ha F egy nem elfajuló kúpszelet egyik fókuszpontja, akkor létezik olyan D egyenes és e valós szám, amire az X pont akkor és csak akkor van rajta a kúpszeleten, ha
|d(D,X)|=e.FX. | (9) |
Az (9) összefüggés a kúpszelet fokális egyenlete, az e szám pedig a kúpszelet excentritása.
Statisztika:
5 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Backhausz Tibor, Frankl Nóra, Nagy 648 Donát. 4 pontot kapott: Nagy 235 János. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2010. februári matematika feladatai