Az A. 505. feladat (2010. március)

A. 505. Az ABCD húrnégyszögben O₁ és O₂ az ABC, illetve az ABD háromszögbe írt kör középpontja. Az O₁O₂ egyenes a BC egyenest E-ben, az AD egyenest F-ben metszi.

(a) Igazoljuk, hogy létezik egy olyan k kör, ami E-ben, illetve F-ben érinti a BC és az AD egyenest.

(b) Mutassuk meg, hogy k érinti az ABCD négyszög köré írt kört is.

Javasolta: Nagy János (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. (a) Jelöljük a körülírt kört k₀-lal, és legyen G,H,I rendre a kör AB, BC, DA íveinek felezőpontja. Az ABC háromszögben AH és CG szögfelezők, tehát O₁ ezek metszéspontja; hasonlóan O₂ a BI és DG húrok metszéspontja. Ismert továbbá, hogy O₁ és O₂ rajta van a G középpontú, A-n és B-n átmenő körön. Az O₁O₂G háromszög tehát egyenlő szárú.

A CO₁E és DO₂F háromszögekben

és

CO₁E=GO₁O₂=O₁O₂G=FO₂D,

tehát FEC=DFE. Ebből pedig következik, hogy létezik a BC egyenest E-ben, az AD egyenest F-ben érintő k kör.

(b) Legyen az AB és EF egyenesek metszéspontja P, a PG egyenes és k₀ második metszéspontja T. (Ha AB és EF párhuzamosak, akkor P a két egyenes ideális pontja és T=G.)

A Pascal-tételt az ABCGTH (piros) hatszögre alkalmazva kapjuk, hogy ABGT=P, CGHA=O₁ és BCTH egy egyenesen van; következésképp a TH egyenes átmegy az E ponton. Hasonlóan, a Pascal-tételt a BADGTI (zöld) hatszögre alkalmazva kapjuk, hogy a TI egyenes átmegy az F ponton.

A k₀ körhöz H-ban és I-ben, illetve a k-hoz E-ben és F-ben húzott érintők párhuzamosak. Ezért a HE egyenes és az IF egyenes is átmegy a két kör külső hasonlósági pontján. Tehát HEIF=T a két kör külső hasonlósági pontja. De a hasonlósági pont csak akkor lehet rajta valamelyik körön, ha a két kör érinti egymást.

(A fenti megoldás Ilja Bogdanovtól származik.)

Statisztika:

8 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bodor Bertalan, Éles András, Frankl Nóra, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai