Az A. 509. feladat (2010. május)

A. 509. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan c>0 valós szám, amire a következő tulajdonság teljesül: tetszőleges $a_1,a_2,\ldots,a_n$ páronként különbőző pozitív egészek (n $\ge$ 3) között van három olyan, amelyek legkisebb közös többszöröse legalább c^.n^2,99.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Az állítást három olyan esetben bizonyítjuk, amelyek együttesen lefedik az összes lehetséges sorozatot.

1. eset: Van olyan 1 $\le$ k $\le$ n-2, amire $\frac{a_{k+2}}{a_k}<1+2000n^{-1+\frac1{300}}$ .

$[a_k,a_{k+1},a_{k+2}] = \frac{a_ka_{k+1}a_{k+2} \cdot (a_k,a_{k+1},a_{k+2})}{ (a_k,a_{k+1})\cdot(a_k,a_{k+2})\cdot(a_{k+1},a_{k+2})}\ge$

$\ge \frac{a_k^2a_{k+1}\cdot1}{(a_{k+1}-a_k)(a_{k+2}-a_k)(a_{k+2}-a_{k+1})} =$

$= \frac1{\big(\frac{a_{k+1}}{a_k}-1\big)\big(\frac{a_{k+2}}{a_k}-1\big)\big(\frac{a_{k+2}}{a_{k+1}}-1\big)} > \frac1{\big(\frac{a_{k+2}}{a_k}-1\big)^3} > \frac1{\Big(2000n^{-1+\frac1{300}}\Big)^3} > \frac{n^{2,99}}{10^{10}}.$

2. eset: n $\ge$ 2000, és $\frac{a_{k+2}}{a_k}\ge 1+2000n^{-1+1000\frac1{300}}$ minden 1 $\le$ k $\le$ n-2 esetén.

$a_n \ge \frac{a_3}{a_1} \cdot \frac{a_5}{a_3} \cdot\ldots\cdot \frac{a_{2\lceil n/2\rceil-1}}{a_{2\lceil n/2\rceil-3}} \ge \left(1+2000n^{-1+\frac1{300}}\right)^{\frac{n-1}/2}.$

Mivel $\frac{n-1}{1800}>1$ , a Bernoulli-egyenlőtlenségből

$\left(1+2000n^{-1+\frac1{300}}\right)^{\frac{n-1}{1800}} \ge 1+\frac{n-1}{1800}\cdot 2000n^{-1+\frac1{300}} > \frac{n}{2000}\cdot 2000n^{-1+\frac1{300}} > n^{\frac1{300}}.$

Tehát,

$[a_1,a_2,a_n] \ge a_n > \left(\left(1+2000n^{-1+\frac1{300}}\right)^{\frac{n-1}{1800}}\right)^{900} \ge \left(n^{\frac1{300}}\right)^{900} = n^3.$

3. eset: n<2000.

$[a_1,a_2,a_3] > 1 > \frac{n^3}{10^{10}}.$

Az állítás tehát minden sorozatra teljesül a c=10^-10 választással.

Statisztika:

5 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Backhausz Tibor, Bodor Bertalan, Éles András, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát.

A KöMaL 2010. májusi matematika feladatai

5 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Backhausz Tibor, Bodor Bertalan, Éles András, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?