Az A. 539. feladat (2011. szeptember)

A. 539. Keressük meg azokat a p3 prímszámokat, amelyekre 1+k(p-1) minden egész számra prím.

Kolmogorov kupa, 2010

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Két ilyen tulajdonságó prím létezik: a 3 és a 7.

A p=3 megfelelő, mert 1+1^.2=3 prím.

A p=5 nem felel meg, mert 1+2^.4=9 összetett.

A p=7 is megfelelő, mert 1+1^.6=7 1+2^.6=13 és 1+3^.6=19 is prím.

A p=11 nem megfelelő, mert 1+2^.10=21 összetett.

A p=13 nem megfelelő, mert 1+2^.12=25 összetett.

A továbbiakban feltételezzük, hogy p17.

Tegyük fel hogy prím, de nem osztója (p-1)-nek. Ekkor q és p-1 relatív prímek, ezért létezik olyan , amire 1+k(p-1) osztható q-val. Viszont qp-1<1+k(p-1) miatt q valódi osztója (1+k(p-1))-nek, de ez ellentmond annak a feltételnek, hogy 1+k(p-1) prímszám.

Tehát p-1 osztható az összes, p/2-nél kisebb prímmel. Legyen r a p/2-nél kisebb prímek közül a legnagyobb. A Csebisev-tétel miatt . A p-1 szám osztható többek között a 2,3,r prímekkel. Így 6r|p-1. De ez ellentmond anak, hogy p-14r+2<6r.

Statisztika:

18 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Gyarmati Máté, Homonnay Bálint, Janzer Olivér, Kiss 065 Eszter, Kovács 444 Áron, Maga Balázs, Mester Márton, Nagy Bence Kristóf, Omer Cerrahoglu, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tatár Dániel, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2011. szeptemberi matematika feladatai