Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 548. feladat (2011. december)

A. 548. Bizonyítsuk be, hogy

$\prod_{i=1}^n \left(1+\frac1{x_1+\ldots+x_i}\right) + \prod_{i=1}^n \left(1-\frac1{x_i+\ldots+x_n}\right) \le n+1$

teljesül tetszőleges $x_1,\ldots,x_n\ge 1$ valós számok esetén.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen S=x₁+...+x_n. Mindkét szorzatban minden tényező nemnegatív, ezért a tényezőket külön-külön felülről becsülhetjük:

$1+\frac1{x_1+\ldots+x_i} \le 1+\frac1i = \frac{i+1}i,$

illetve

$1-\frac1{x_i+\ldots+x_n} = 1-\frac1{S-x_1-\dots-x_{i-1}} \le 1-\frac1{S-(i-1)} = \frac{S-i}{S-i+1}.$

Tehát,

$\prod_{i=1}^n \left(1+\frac1{x_1+\ldots+x_i}\right) + \prod_{i=1}^n \left(1-\frac1{x_i+\ldots+x_n}\right) \le$

$\le \prod_{i=1}^{n-1} \frac{i+1}i \cdot \left(1+\frac1S\right) + \prod_{i=1}^n \frac{S-i}{S-i+1} = n\cdot \frac{S+1}S + \frac{S-n}S = n+1.$

Akkor és csak akkor áll fenn egyenlőség, ha x₁=...=x_n-1=1.

3 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Omer Cerrahoglu.

3 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Omer Cerrahoglu.