![]() |
Az A. 554. feladat (2012. február) |
A. 554. Az ABCD húrnégyszög köré írt kör középpontja O. Az ABO és CDO körök O-tól különböző metszéspontja a P pont, ami a DAO háromszög belsejébe esik. Válasszuk ki az OP szakasz P-n túli meghosszabbításán a Q, az OP szakasz O-n túli meghosszabbításán pedig az R pontot. Bizonyítsuk be, hogy QAP=OBR
akkor és csak akkor teljesül, ha PDQ
=RCO
.
(5 pont)
A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen H az ABCD, ABOP, CDPO körök hatványpontja; ezen a ponton a három közül bármelyik két kör hatványvonala, azaz az AB, CD és OP egyenesek is átmennek. Abból, hogy P a rövidebbik AO, illletve DO íveken van, következik, hogy H az OP szakasz P-n túli meghosszabbításán van. A H pontra
HA.HB=HC.HD=HO.HP. | (1) |
Mivel ABOP húrnégyszög,
QAB+BRQ
=(PAB
+QAP
)+(BOP
-OBR
)=
=(PAB+BOP
)+(QAP
-OBR
)=180o+(QAP
-OBR
),
ezért QAP=OBR
akkor és csak akkor teljesül, ha ABRQ húrnégyszög, ez pedig ekvivalens azzal, hogy HQ.HR=HA.HB.
Ugyanezekkel a lépésekkel, az A,D, illetve a B,C pontok szerepének felcserélésével kapjuk, hogy QAP=OBR
akkor és csak akkor teljesül, ha HQ.HR=HC.HD.
Ezeket (1)-gyel összevetve,
Statisztika:
7 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Machó Bónis, Mester Márton, Omer Cerrahoglu, Strenner Péter.
A KöMaL 2012. februári matematika feladatai