Az A. 566. feladat (2012. szeptember)

A. 566. (a) Bizonyítsuk be, hogy ha n $\ge$ 2, és az $a_2,a_3,\ldots,a_n$ pozitív valós számok szorzata 1, akkor

${(1+a_2)}^2{(1+a_3)}^3\ldots{(1+a_n)}^n > \frac{n^n{(n-1)}^{n-1}}{4^{n-1}}.$

(b) Mutassunk példát olyan n $\ge$ 2 egészre és $a_2,a_3,\ldots,a_n$ pozitív valós számokra, amelyek szorzata 1, és

${(1+a_2)}^2{(1+a_3)}^3\ldots{(1+a_n)}^n < 1{,}000\;001 \cdot \frac{n^n{(n-1)}^{n-1}}{4^{n-1}}.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. (a) Minden 2 $\le$ k $\le$ n-re az (1+a_k)^k tényezőt összehasonlítjuk a_k²-nel.

Ha k $\ge$ 3, akkor a súlyozott számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget az 1/(k-2) és a_k/2 számokra a k-2 és 2 súlyokkal alkalmazva,

$\frac{1+a_k}{k} = \frac{(k-2)\cdot\frac1{k-2}+2\cdot\frac{a_k}{2}}{k} \ge \left(\frac{1}{k-2}\right)^{(k-2)/k}\cdot\left(\frac{a_k}{2}\right)^{2/k} = \left(\frac{a_k^2}{4(k-2)^{k-2}}\right)^{1/k}$

$(1+a_k)^k \ge \frac{k^k}{4(k-2)^{k-2}}a_k^2.$

(1)

Itt akkor áll egyenlőség, ha 1/(k-2)=a_k/2, vagyis $a_k=\frac2{k-2}$ .

A fenti becsléseket összeszorozva,

$(1+a_2)^2 (1+a_3)^3 \ldots (1+a_n)^n = (1+a_2)^2 \prod_{k=3}^n (1+a_k)^k \ge (1+a_2)^2 \prod_{k=3}^n \left(\frac{k^k}{4(k-2)^{k-2}}a_k^2\right) =$

$= \frac{(1+a_2)^2}{a_2^2} \cdot \Big(\underbrace{a_2a_3\ldots a_n}_{1}\Big)^2 \cdot \prod_{k=3}^n \frac{k^k}{4(k-2)^{k-2}} = \frac{(1+a_2)^2}{a_2^2} \cdot \frac{n^n(n-1)^{n-1}}{4^{n-2}\cdot1^1\cdot2^2} = \frac{(1+a_2)^2}{a_2^2} \cdot \frac{n^n(n-1)^{n-1}}{4^{n-1}}.$

(2)

Ezután a triviális (1+a₂)²>a₂² egyenlőtlenséget alkalmazva kapjuk az állítást.

(b) A (2) egyenlőtlenségben egyenlőség áll, ha $a_k=\frac2{k-2}$ minden k $\ge$ 3-ra; ekkor az $a_2a_3\ldots a_n=1$ kényszerfeltétel szerint $a_2=\frac1{a_3\ldots a_n}= \prod_{k=3}^n\frac{k-2}2=\frac{(n-2)!}{2^{n-2}}$ .

Könnyű ellenőrizni, hogy például n=16 esetén $a_2=\frac{14!}{2^{14}}=5320940.625$ és $\frac{(1+a_2)^2}{a_2^2} = \left(1+\frac1{a_2}\right)^2<1,000\;001$ , így

$(1+a_2)^2 (1+a_3)^3 \ldots (1+a_n)^n = \frac{(1+a_2)^2}{a_2^2} \cdot \frac{n^n(n-1)^{n-1}}{4^{n-1}} < 1{,}000\;001 \cdot \frac{n^n(n-1)^{n-1}}{4^{n-1}}$

is teljesül.

Egy lehetséges példa tehát:

$n=16, \quad (a_2,a_3,\ldots,a_{16})= \left(\frac{14!}{2^{14}},\frac21,\frac22,\frac23,\ldots,\frac2{14}\right).$

Statisztika:

7 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Herczeg József, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Olivér, Omer Cerrahoglu, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Williams Kada.

A KöMaL 2012. szeptemberi matematika feladatai

7 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Herczeg József, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Olivér, Omer Cerrahoglu, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Williams Kada.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?