Az A. 593. feladat (2013. szeptember)

A. 593. Legyenek a, b, c pozitív valós számok. Igazoljuk, hogy

$\root3\of{7a^2b+1}+\root3\of{7b^2c+1}+\root3\of{7c^2a+1} \le \frac{23}{12}(a+b+c) + \frac1{12} \left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right).$

A 2013. évi MEMO 1. feladata alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Az $f(x)=\root3\of{x}$ függvény a pozitív félegyenesen szigorúan konkáv, ezért tetszőleges u,x pozitív számokra

$\root3\of{x} = f(x) \le f(u) + f'(u)(x-u) = \root3\of{u} + \frac1{3\big(\root3\of{u}\big)^2} (x-u).$

(Avagy, a függvény grafikonja az érintő alatt halad.) Az u=8a³, x=7a²b+1 esetben

$\root3\of{7a^2b+1} \le 2a + \frac1{12a^2}(7a^2b+1-8a^3) = \frac43a + \frac7{12}b + \frac1{12a^2}.$

(*)

Ugyanezt a becslést a másik két tagra is felírva,

$\root3\of{7a^2b+1}+\root3\of{7b^2c+1}+\root3\of{7c^2a+1} \le$

$\le\left(\frac43a + \frac7{12}b + \frac1{12a^2}\right) + \left(\frac43b + \frac7{12}c + \frac1{12b^2}\right) + \left(\frac43c + \frac7{12}a + \frac1{12c^2}\right) =$

$= \frac{23}{12}(a+b+c) + \frac1{12} \left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right).$

Megjegzés. A (*) egyenlőtlenség a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenségből is bizonyítható:

$\root3\of{7a^2b+1} = \root3\of{2a \cdot 2a\cdot \dfrac{7a^2b+1}{4a^2}} \le \dfrac{2a + 2a + \dfrac{7a^2b+1}{4a^2}}3 = \frac43a + \frac7{12}b + \frac1{12a^2}.$

Statisztika:

39 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Ágoston Péter, Balogh Tamás, Barna István, Bereczki Zoltán, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Barnabás, Maga Balázs, Makk László, Nagy-György Pál, Schwarcz Tamás, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.

4 pontot kapott: Emri Tamás, Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Kúsz Ágnes, Machó Bónis, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk.

3 pontot kapott: 10 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai

39 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Balogh Tamás, Barna István, Bereczki Zoltán, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Barnabás, Maga Balázs, Makk László, Nagy-György Pál, Schwarcz Tamás, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Emri Tamás, Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Kúsz Ágnes, Machó Bónis, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?