 |
Az A. 595. feladat (2013. szeptember) |
A. 595. Legyen p pozitív prímszám, amihez van olyan a pozitív egész, amire 2a2-1 osztható p-vel. Igazoljuk, hogy vannak olyan b és c egész számok, amelyekre p=2b2-c2.
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat. A megoldás fő eszköze a következő lemma.
Lemma. Léteznek olyan x,y egész számok, amikre és
.
Bizonyítás. Legyen , és helyezzük el a 0,a,2a,...,Na modulo p maradékosztályokat egy p kerületű kör mentén. Ezek a pontok a kört N+1 ívre osztják, ezért biztosan van az ívek között legfeljebb
hosszúságú; valamelyik két 0
i<jN indexre az ia és ja pontok távolsága kisebb, mint . Legyen x=j-i és y
xa=(ja-ia); ekkor tehát és elérhető, hogy
. A konstrukció szerint x biztosan nem osztható p-vel; ebből következik, hogy y sem lehet 0.
Azt állítjuk, hogy például a b=y, c=x választás megfelelő.
Mivel b,c
0 és a 2 nem négyzetszám, 2b2-c20.
A feladat feltétele szerint
vagyis 2b2-c2 osztható p-vel.
Továbbá -p<2b2-c2<2p. Tehát, a 2b2-c2 egyetlen lehetséges értéke a p.
Statisztika:
17 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Csernák Tamás, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Barnabás, Kabos Eszter, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Nagy Bence Kristóf, Petrényi Márk, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Williams Kada. 4 pontot kapott: Mattia Tiso. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai