Az A. 596. feladat (2013. október)

A. 596. Határozzuk meg azokat a k $\ge$ 3 egész számokat, amikre teljesül, hogy bármely P₁,P₂,... síkbeli, végtelen pontsorozathoz, amelyben semelyik három pont nincs egy egyenesen, léteznek olyan $1\le i_1<i_2<\ldots<i_k$ egészek, amelyekre a $P_{i_1},P_{i_2},\ldots,P_{i_k}$ pontok ebben a sorrendben konvex k-szöget alkotnak.

Javasolta: Surányi László, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Tetszőleges k-hoz léteznek megfelelő i₁<...<i_k indexek.

Színezzük ki az {P₁,P₂...} halmaz háromelemű részhalmazait két színnel: tetszőleges i<j<k indexekre az {i,j,k} halmaz színe legyen piros, ha a P_iP_jP_k háromszög pozitív, illetve kék, ha a P_iP_jP_k háromszög negatív körüljárású. Az, hogy a $P_{i_1}\ldots P_{i_k}$ szokszög konvex, ekvivalens azzal, hogy az $\{i_1,\ldots,i_k\}$ halmaz 3-elemű részhalmazai mind azonos színűek.

A Ramsey-tétel hipergráfokra vonatkozó kiterjesztése szerint ha N elég nagy, akkor tetszőleges színezés esetén vannak olyan $1\le i_1<\ldots<i_k\le N$ indexek, amelyekre az $\{i_1,\ldots,i_k\}$ halmaz 3-elemű részhalmazai mind azonos színűek.

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Maga Balázs, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.

4 pontot kapott: Kúsz Ágnes.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai

12 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Maga Balázs, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Kúsz Ágnes.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?