Problem A. 598. (October 2013)
A. 598. Denote by un the nth Fibonacci number (u1=u2=1, un+1=un+un-1). Prove that if a,b,c>1 are integers such that a divides ub, b divides uc and c divides ua, then 5 divides a, b and c, or 12 divides a, b and c.
(5 pont)
Deadline expired on November 11, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldásvázlat. Tetszőleges m-re az m-mel osztható Fibonacci-számok indexei egy számtani sorozatot alkotnak, amelyben a 0 is szerepel; jelöljük ennek differenciáját dm-mel. Könnyű ellenőrizni, hogy d2=3, d3=4, d4=6, d5=5, d6=12 és d12=12.
Ha a,b,c között van 5-tel osztható, mondjuk 5|a, akkor
vagyis a,b,c mindegyike osztható 5-tel.
Ha a,b,c között van 3-mal osztható, mondjuk 3|a, akkor
vagyis a,b,c mindegyike osztható 12-vel.
Ha a,b,c között van páros, mondjuk 2|a, akkor 2|a|ub miatt 3=d2|b, tehát a számok között van 3-mal osztható is, az előző bekezdés szerint tehát a,b,c is osztható 12-vel.
A továbbiakban feltételezzük, hogy abc legkisebb prímosztója p7. Az a,b,c szerepének szimmetriája miatt feltehetjük, hogy p|a.
A dp szám osztója az úgynevezett (p) Pisano-periódusnak. Az is ismert, hogy ha p prím és p5, akkor (p)|p2-1, tehát dp|(p)|p2-1 és így
p|udp|up2-1.
(Általánosabban, ha , akkor dp|p-1, esetén pedig dp|p+1.)
Másrészt
p|a|ub,
amiből
p|gcd(up2-1,ub)=ugcd(p2-1,b).
A b szám mindegyik prímosztója p, vagy legalább p+2, ezek egyike sem osztója p2-1=(p-1)(p+1)=nek. Ezért ugcd(p2-1,b)=u1=1, azaz p|1, ami ellentmondás. Ez az eset tehát nem lehetséges.
Statistics:
12 students sent a solution. 5 points: Fehér Zsombor, Maga Balázs, Nagy Bence Kristóf, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Williams Kada. 1 point: 1 student. 0 point: 3 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013