Problem A. 600. (November 2013)
A. 600. Show that for every closed polygonal disk there exists a real number
such that for arbitrary positive integer n and any points
there is a point
satisfying
.
Based on a problem of CIIM5, Colombia
(5 pont)
Deadline expired on December 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldásvázlat. A halmaz minden egyes véges, nem üres
részhalmazára definiáljuk az
függvényt a következőképpen:
Az függvény folytonos, az értékkészlete pedig egy korlátos, zárt intervallum; jelöljük ezt
-val:
A állítás ekvivalens azzal, hogy az összes intervallumnak van közös eleme.
Az 1-dimenziós Helly-tétel szerint ha korlátos, zárt intervallumok egy halmazában bármely két (nem feltétlenül különböző) intervallumnak van közös eleme, akkor az összes intervallumnak van közös eleme. (Közös elem például az alsó végpontok legkisebb felső korlátja.)
A Helly-tétel miatt elég azt megmutatnunk, hogy tetszőleges és
halmazokra az
és az
intervallumnak van közös eleme. Egy ilyen közös elem például a következő:
Statistics:
6 students sent a solution. 5 points: Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Simon 047 Péter. 2 points: 1 student. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013