Az A. 600. feladat (2013. november)

A. 600. Mutassuk meg, hogy a síkon minden zárt ${\cal K}$ sokszöglemezhez létezik olyan $\alpha$ valós szám, hogy bármely n pozitív egészhez és $A_1,\ldots,A_n\in{\cal K}$ pontokhoz van olyan $X\in{\cal K}$ pont, amire

$\frac{|XA_1|+\ldots+|XA_n|}{n} = \alpha.$

A CIIM5 (Kolumbia) feladata alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. A ${\cal K}$ halmaz minden egyes véges, nem üres ${\cal A}=\{A_1,\dots,A_n\}$ részhalmazára definiáljuk az $f_{\cal A}$ függvényt a következőképpen:

$f_{\cal A}:{\cal K}\to\mathbb{R}, \qquad f_{\cal A}(X) = \frac{|XA_1|+\ldots+|XA_n|}{n}.$

Az $f_{\mathcal{A}}$ függvény folytonos, az értékkészlete pedig egy korlátos, zárt intervallum; jelöljük ezt $I_{\cal A}$ -val:

$I_{\cal A} = \big\{ f_{\cal A}(X): X\in{\cal K}\big\}.$

A állítás ekvivalens azzal, hogy az összes $I_{\cal A}$ intervallumnak van közös eleme.

Az 1-dimenziós Helly-tétel szerint ha korlátos, zárt intervallumok egy halmazában bármely két (nem feltétlenül különböző) intervallumnak van közös eleme, akkor az összes intervallumnak van közös eleme. (Közös elem például az alsó végpontok legkisebb felső korlátja.)

A Helly-tétel miatt elég azt megmutatnunk, hogy tetszőleges ${\cal A}=\{A_1,\dots,A_n\}$ és ${\cal B}=\{B_1,\dots,B_k\}$ halmazokra az $I_{\cal A}$ és az $I_{\cal B}$ intervallumnak van közös eleme. Egy ilyen közös elem például a következő:

$\frac1{nk} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k |A_iB_j| = \frac{f_{\cal A}(B_1)+\ldots+f_{\cal A}(B_k)}{k} = \frac{f_{\cal B}(A_1)+\ldots+f_{\cal B}(A_n)}{n}.$

Statisztika:

6 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Simon 047 Péter.

2 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai

6 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Simon 047 Péter.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?