Az A. 607. feladat (2014. január)

A. 607. A k₁, k₂ és k₃ körök páronként kívülről érintik egymást; k₁ és k₂ érintési pontja T. A k₁ és k₂ egyik közös külső érintője k₃-at a P és Q pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy k₁ és k₂ közös belső érintője felezi a k₃ kör T-hez közelebbi PQ ívét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.

1. megoldás (vázlat). Legyen M a k₃ kör T-hez közelebbi PQ ívének felezőpontja, és jelöljük m-mel a TPQ kört. Azt fogjuk bizonyítani, hogy az m kör középpontja az M pont, és ez rajta van k₁ és k₂ közös belső érintőjén. Ebből a feladat állítása azonnal következik.

Legyen k₁ és k₃ érintési pontja U, k₂ és k₃ érintési pontja V, a PQ egyenes érintési pontja k₁-n X, k₂-n pedig Y. Legyen H a k₁ és k₂ külső hasonlósági pontja, és legyen t a H középpontú, T-n átmenő kör. A három hasonlósági pont tétele miatt H,U,V kollineáris. (Ha k₁ és k₂ ugyanakkora, akkor t a két kör közös belső érintője, és UV párhuzamos a centrálissal.)

Az k₁ és k₂ egymás tükörképe (inverze) a t körre, amiből következik, hogy X és Y, továbbá U és V is szimmetrikus t-re, a k₃ pedig önmaga tükörképe. Az XY egyenes is szimmetrikus t-re, így k₃ és XY két metszéspontja, P és Q is szimmetrikus t-re. Ebből pedig következik, hogy az m kör szimetrikus t-re; így m a T pontban merőlegesen metszi t-t, k₁-et és k₂-t; ezért a k₁ és k₂ közös belső érintője átmegy m középpontján.

A k₁-hez X-ben és a k₃-hoz M-ben húzott érintők párhuzamosak, ezért a k₁-et k₃-ba vivő, U középpontú középpontos hasonlóság X-et M-be viszi. Tehát az XM szakasz átmegy U-n. Hasonlóan látható, hogy az YM szakasz átmegy V-n.

A P és Q pontokon át csak két olyan egyenes vagy kör húzható, ami érinti k₁-et és k₂-t is: a k₃ kör és PQ egyenes. Mint láttuk, az k₁ és k₂ merőlegesen metszi m-et, ezért k₁ és k₂ is szimmetrikus m-re. Ebből láthatjuk, hogy a két P,Q-n átmenő, k₁-et és k₂-t érintő kör/egyenes egymás m-re vonatkozó tükörképe. Tehát a k₃ kör és a PQ egyenes, az X és az U pont, illetve a Y és a V pont is egymás m-re vonatkozó tükörképe. Ezért az XU és az YV egyenes is átmegy m középpontján. Tehát M=XUYV az m kör középpontja.

Megjegyzés. Az m-re való szimmetria könnyebben felfedezhető, ha felrajzoljuk az ábra T pontra vonatkozó inverzét. (Az inverzió megtartja a körre és egyenesre való szimmetriát.)

2. megoldás (vázlat). Legyen a k₁ és k₂ közös belső érintője és a k₃ kör T-hez közelebbi, illetve T-től távolabbi metszéspontja M, illetve R, és legyen a PQ egyenes érintési pontja k₁-en X, k₂-n pedig Y.

A Sawayama-lemmát (ld. pl. itt vagy itt vagy itt) a PQR háromszögre és a k₁ körre alkalmazva láthatjuk, hogy az XT egyenes átmegy a PQR háromszög PQ oldalhoz hozzáírt körének középpontján; hasonlóan, az YT egyenes is átmegy ugyanezen a ponton. Tehát a T pont a PQR háromszög PQ oldalhoz hozzáírt körének középpontja. Így RT a PRQ szög felezője, ami felezi a PQR=k₃ körülírt kör R-rel szemközti PQ ívét.

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Nagy-György Pál, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. januári matematika feladatai