Az A. 618. feladat (2014. május)

A. 618. Igazoljuk, hogy az

$\displaystyle x^3 - x + 9 = 5 y^2$

egyenletnek nincs megoldása az egész számok körében.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Az egyenletet modulo 3, modulo 4 és modulo 8 vizsgálva láthatjuk, hogy $\displaystyle 3|y$, $\displaystyle y$ páratlan és $\displaystyle 4|x$. Legyen $\displaystyle X=x/4$ és $\displaystyle Y=y/3$, és írjuk az egyenletet a következő alakban:

Lemma. Tetszőleges $\displaystyle a,b$ relatív prím pozitív egészekre $\displaystyle 5a^2-b^2$ minden prímosztója 2, 5 vagy pedig $\displaystyle 10k\pm1$ alakú.

Bizonyítás. Ha egy $\displaystyle p\ne2,5$ prímnek van $\displaystyle 5a^2-b^2$ alakú többszöröse, akkor a Thue-lemma miatt (ld. pl. a A. 595. feladatot) olyan $\displaystyle a,b$ egészek is találhatók, amikre $\displaystyle 0<a<\sqrt{p/2}$ és $\displaystyle 0<b<\sqrt{2p}$. Ekkor $\displaystyle -3p<5a^2-b^2<3p$, tehát $\displaystyle 5a^2-b^2=\pm p$ vagy $\displaystyle 5a^2-b^2=\pm 2p$. Az utóbbi eset nem lehetséges, mert ha $\displaystyle 5a^2-b^2$ páros, akkor 4-gyel is osztható. Marad az, hogy $\displaystyle 5a^2-b^2=\pm p$. Mivel $\displaystyle b^2\equiv\pm1\pmod5$, $\displaystyle p\equiv\pm1\pmod5$.

(A lemmát a kvadratikus reciprocitás segítségével is könnyű bebizonyítani.)

Térjünk vissza a (*) egyenlethez. Az $\displaystyle \frac{5Y^2-1}{4}$ szám nem osztható sem 2-vel, sem 5-tel, ezért a lemma szerint $\displaystyle 10k\pm1$ alakú prímek szorzata. A baloldalon álló tényezők közül pontosan az egyik osztható 3-mal; ez lesz osztható 9-cel. Összességében mindhárom tényező $\displaystyle 10k\pm1$ alakú számok szorzata, így az $\displaystyle X$, $\displaystyle 4X-1$, $\displaystyle 4X+1$ tényezők mindegyikének $\displaystyle 10\pm1$ alakúnak kellene lennie. Ez viszont nem lehetséges.

Statisztika:

4 dolgozat érkezett.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai