Az A. 622. feladat (2014. szeptember)

A. 622. Igazoljuk, hogy tetszőleges nemnegatív egész \(\displaystyle k\) esetén \(\displaystyle \dfrac{7^{7^{k+1}}+1}{7^{7^{k}}+1}\) összetett szám.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyük észre, hogy

\(\displaystyle \dfrac{x^7+1}{x+1} = x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1 = (x+1)^6 -7x \cdot (x^2+x+1)^2. \)

Ha \(\displaystyle x=7^{7^k}\), akkor \(\displaystyle 7x=7^{7^k+1}\) négyzetszám, így \(\displaystyle \dfrac{7^{7^{k+1}}+1}{7^{7^{k}}+1}\) két négyzetszám különbsége. Ebből a szám következő szorzattá alakítását kaphatjuk:

\(\displaystyle \dfrac{7^{7^{k+1}}+1}{7^{7^{k}}+1} = \bigg( \Big(7^{7^k}+1\Big)^3 + 7^{\frac{7^{k}+1}2}\Big(7^{2\cdot 7^k}+7^{7^k}+1\Big) \bigg) \bigg( \Big(7^{7^k}+1\Big)^3 - 7^{\frac{7^{k}+1}2}\Big(7^{2\cdot 7^k}+7^{7^k}+1\Big) \bigg). \)

A szorzatban a második, kisebb tényező is nagyobb \(\displaystyle 1\)-nél, mert

\(\displaystyle \Big(7^{7^k}+1\Big)^3 - 7^{\frac{7^{k}+1}2}\Big(7^{2\cdot 7^k}+7^{7^k}+1\Big) \ge \Big(7^{7^k}+1\Big)^3 - 7^{7^{k}}\Big(7^{2\cdot 7^k}+7^{7^k}+1\Big) = 2\cdot7^{2\cdot 7^k} +2\cdot7^{7^k} +1 > 1. \)

Statisztika:

8 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Adnan Ali, Fehér Zsombor, Saranesh Prembabu, Shapi Topor, Szabó 789 Barnabás.
4 pontot kapott:	Ahaan S. Rungta.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai