Az A. 623. feladat (2014. október)

A. 623. Legyen \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) három különböző pozitív valós szám. Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számok logaritmikus közepén a következő számot értjük:

\(\displaystyle L(a,b,c) = 2\left(\frac{a}{(\ln a-\ln b)(\ln a-\ln c)} + \frac{b}{(\ln b-\ln c)(\ln b-\ln a)} + \frac{c}{(\ln c-\ln a)(\ln c-\ln b)}\right).\)

Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \sqrt[3]{abc} < L(a,b,c) < \frac{a+b+c}{3}. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először bebzonyítjuk a következő, jól ismert azonosságot:

A homogenitás miatt \(\displaystyle L(a,b,c)=c\cdot L(a/c,b/c,1)\), így elég abban az esetben bizonyítani, ha \(\displaystyle c=1\):

\(\displaystyle \mathop{\int\int}\limits_{x+y\le 1} a^x b^y \,{\rm d}x{\rm d}y % = \int_{x=0}^1 a^x \left( \int_{y=0}^{1-x} b^y \,{\rm d}y \right) \,{\rm d}x % = \int_0^1 a^x \frac{b^{1-x}-1}{\log b} \,{\rm d}x = \frac1{\log b} \int_0^1 \left( b\left(\frac{a}{b}\right)^x - a^x \right) \,{\rm d}x \)

\(\displaystyle = \frac1{\log b} \left( \frac{a-b}{\log\frac{a}{b}} -\frac{a-1}{\log a}\right) % = \frac{a}{\log b} \left(\frac1{\log\frac{a}{b}}-\frac1{\log a}\right) -\frac{b}{\log b\cdot\log\frac{a}{b}} +\frac1{\log a\cdot \log b} % \\= \frac{a}{(\log a -\log b)\log a} + \frac{b}{(\log b -\log a)\log b} + \frac1{\log a \cdot \log b} = \frac12 L(a,b,1). \)

Ezzel az (1) azonosságot igazoltuk.

Alkalmazzuk a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget (1)-ben az integrandusra:

\(\displaystyle L(a,b,c) % = 2 \mathop{\int\int}\limits_{x+y\le1} a^x b^y c^{1-x-y}\,{\rm d}x{\rm d}y % \le 2 \mathop{\int\int}\limits_{x+y\le1} \big(xa+yb+(1-x-y)c\big)\,{\rm d}x{\rm d}y = \frac{a+b+c}{3}. \)

Most alkalmazzuk a Jensen-egyenlőtlenséget az exponenciális függvényre:

\(\displaystyle L(a,b,c) % = 2\mathop{\int\int}\limits_{x+y\le1} \exp\big( x\log a + y\log b + (1-x-y)\log c \big) \,{\rm d}x{\rm d}y \ge % \)

\(\displaystyle \ge \exp\left(2\mathop{\int\int}\limits_{x+y\le1} \big( x\log a + y\log b + (1-x-y)\log c \big) \,{\rm d}x{\rm d}y \right) =% \)

\(\displaystyle = {\rm exp} \frac{\log a+\log b+\log c}{3} = \root3\of{abc}. \)

Megjegyzés. \(\displaystyle n\) pozitív szám, \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n\) logaritmikus közepe például az

\(\displaystyle L(a_1,a_2,\ldots,a_n) = (n-1)! \cdot \exp[\log a_1,\log a_2,\ldots, \log a_n] \)

képlettel definiálható, ahol \(\displaystyle \exp[\ldots]\) az exponenciális függvény úgynevezett osztott differenciája. Ismert, hogy

\(\displaystyle L(a_1,a_2,\ldots,a_n) = (n-1)! \cdot \mathop{\int\ldots\int}\limits_{\scriptsize\begin{matrix} x_1,\ldots,x_{n-1}\ge0,\\ x_1+\ldots+x_{n-1}\le1 \end{matrix}} a_1^{x_1} a_2^{x_2} \cdots a_{n-1}^{x_{n-1}} a_n^{1-x_1-\ldots-x_{n-1}} \,\mathrm{d}x_1\cdots\mathrm{d}x_{n-1}. \)

Ebből a fenti megoldáshoz hasonlóan látható, hogy a logaritmikus közép a mértani és a számtani közép közé esik.

Statisztika:

8 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Saranesh Prembabu, Szabó 789 Barnabás, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Di Giovanni Márk.
2 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai