Az A. 626. feladat (2014. november)

A. 626. A sík $\displaystyle 4n+5$, hármanként nem kollineáris pontját két színnel kiszínezzük. Igazoljuk, hogy lesz $\displaystyle n$ üres (azaz, belsejében színes pontot nem tartalmazó) háromszög, amelyeknek a belseje páronként diszjunkt és amelyeknek az összes csúcsa mind egyszínű.

Schweitzer Miklós Emlékverseny, 2014

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Feltehető, hogy legalább $\displaystyle 2n+3$ piros pont van. Legyen $\displaystyle p$ darab csúcsa a piros pontok konvex burkának, és legyen $\displaystyle p'$ további piros pont. A piros pontokat felháromszögelve kapunk $\displaystyle p+2p'-2$ egymásba nem nyúló piros háromszöget, amelyek közül legalább $\displaystyle x=p+2p'-2-k$ üres, ahol $\displaystyle k$ a piros pontok konvex burkán belül levő kék pontok száma. E kék pontokat felháromszögelve kapunk legalább $\displaystyle k-2$ egymásba nem nyúló kék háromszöget, amelyek közül legalább $\displaystyle y=k-2-p'$ üres. Mivel

$\displaystyle x+y=p+p'-4\ge 2n-1,$

ezért $\displaystyle x\ge n$ vagy $\displaystyle y\ge n$.

Megjegyzés. A feladat Károlyi Gyulától származik.

A fenti megoldást a Schweitzer-versenybizottság bocsátotta rendelkezésünkre. A Schweitzer-verseny eredménye, feladatai és a feladatok megoldásai megtalálhatók a verseny honlapján: http://www.bolyai.hu/schweitzer.htm

Statisztika:

6 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Fehér Zsombor, Nagy-György Pál, Szabó 789 Barnabás, Wei Cong Wu, Williams Kada.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai