Az A. 628. feladat (2014. november)

A. 628. Igaz-e, hogy minden olyan \(\displaystyle x_1,x_2,\ldots\), egész számokból álló végtelen sorozathoz, amelyre \(\displaystyle |x_{k+1}-x_k|=1\) minden \(\displaystyle k\) pozitív egészre, létezik pozitív egészeknek egy \(\displaystyle k_1<k_2<\ldots<k_{2014}\) sorozata úgy, hogy az \(\displaystyle k_1,k_2,\ldots,k_{2014}\) indexek és az \(\displaystyle x_{k_1},x_{k_2},\ldots,x_{k_{2014}}\) számok is (ebben a sorrendben) számtani sorozatot alkotnak?

Javasolta: Csóka Endre (Warwick) és Ben Green (Oxford)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A válasz NEM. Mutatunk egy olyan sorozatot, amelyben a szomszédos tagok különbsége \(\displaystyle \pm1\), de a sorozathoz nem léteznek megfelelő \(\displaystyle k_1<\ldots<k_{2014}\) indexek.

Legyen

\(\displaystyle f(t) = \sum_{n=1}^\infty 50^n \sin\frac{t}{100^n} \)

(a sor minden valós \(\displaystyle t\) számra konvergens, mert \(\displaystyle \left|50^n \sin\frac{t}{100^n}\right|<\frac{|t|}{2^n}\)), és minden \(\displaystyle k\) pozitív egészre legyen \(\displaystyle x_k\) egy olyan egész szám, aminek paritása megegyezik \(\displaystyle k\) paritásával és \(\displaystyle \big|x_k-f(k)\big|\le1\). Azt állítjuk, hogy ez a sorozat megfelelő.

Először is igazoljuk, hogy \(\displaystyle |x_{k+1}-x_k|=1\). Jól ismert, hogy különböző \(\displaystyle u,v\) valós számok esetén \(\displaystyle \big|\sin u-\sin v\big|<|u-v|\), így

\(\displaystyle \big|f(u)-f(v)\big| = \left| \sum_{n=1}^\infty 50^n \bigg(\sin\frac{u}{100^n}-\sin\frac{u}{100^n}\bigg)\right| \le \sum_{n=1}^\infty 50^n \left| \sin\frac{u}{100^n}-\sin\frac{u}{100^n}\right| < \)

\(\displaystyle < \sum_{n=1}^\infty 50^n \frac{|u-v|}{100^n} = |u-v| \sum_{n=1}^\infty \left(\frac12\right)^n = |u-v|. \)

Az \(\displaystyle u=k\), \(\displaystyle v=k+1\) esetben ezért

\(\displaystyle |x_k-x_{k+1}| \le \big|x_k-f(k)\big| + \big|f(k)-f(k+1)\big| + \big|f(k+1)-x_{k+1}\big| < 1+1+1 = 3. \)

Mivel \(\displaystyle x_k\) és \(\displaystyle x_{k+1}\) ellentétes paritású, ebből következik, hogy \(\displaystyle |x_k-x_{k+1}|=1\).

Tekintsünk most egy \(\displaystyle k_1<\ldots<k_{2014}\) számtani sorozatot, amelynek differenciája \(\displaystyle d\). A \(\displaystyle d\) szám két szomszédos \(\displaystyle 100\)-hatvány közé esik; van egy olyan \(\displaystyle m\) pozitív egész, amelyre \(\displaystyle 100^{m-1}\le d \le 100^m\). Legyen \(\displaystyle h\) a legnagyobb pozitív egész, amire \(\displaystyle hd\le 100^m\); ekkor biztosan \(\displaystyle h\le100\) és

\(\displaystyle \frac{100^m}2 < hd \le 100^m. \)

A \(\displaystyle \frac{k_{101}}{100^m}, \frac{k_{102}}{100^m}, \ldots, \frac{k_{800}}{100^m}\) számok egy olyan számtani sorozatot alkotnak, amelynek differenciája legfeljebb \(\displaystyle 1\), az első és az utolsó tag különbsége nagyobb, mint \(\displaystyle 2\pi\), ezért van olyan \(\displaystyle 101\le i\le 800\) index, amire a \(\displaystyle \frac{k_i}{100^m}\) modulo \(\displaystyle 2\pi\) vett maradéka \(\displaystyle \frac\pi3\) és \(\displaystyle \frac{2\pi}3\) között van; erre az indexre \(\displaystyle \sin\frac{k_i}{100^m}>\sin\frac\pi3\). Válasszunk ki egy ilyen \(\displaystyle i\) indexet, és vizsgáljuk a

\(\displaystyle \Delta = (x_{k_i+hd} - x_{k_i}) - (x_{k_i} - x_{k_i-hd}) = x_{k_i+hd} - 2x_{k_i} + x_{k_i-hd} \)

számot. Ha az \(\displaystyle x_{k_i-hd}, x_{k_i}, x_{k_i+hd}\) számok számtani sorozatot alkotnak, akkor \(\displaystyle \Delta=0\). A továbbakban megmutatjuk, hogy \(\displaystyle \Delta\ne0\). Az egyszerűség kedvéért vezessük be a \(\displaystyle K=k_i\) és \(\displaystyle D=hd\) jelöléseket. Ekkor tehát \(\displaystyle \frac12<\frac{D}{100^m}\le1\), \(\displaystyle 1\le K-D < K < K+D \le 900\), és

\(\displaystyle \Delta = x_{K+D} - 2x_K + x_{X-D}. \)

Írjuk be a sorozat definícióját, és írjuk fel \(\displaystyle \Delta\)-t \(\displaystyle f\)-fel, tagonként. Az \(\displaystyle m\)-edig taggal becsülünk alulról.

\(\displaystyle |\Delta| \ge \big| f(K+D) - 2f(K) + f(K-D) \big| - 4 = \left| \sum_{n=1}^\infty 50^n\bigg(\sin\frac{K+D}{100^n}-2\sin\frac{K}{100^n}+\sin\frac{K-D}{100^n}\bigg)\right| -4 \ge \)

\(\displaystyle \ge 50^m\bigg|\sin\frac{K+D}{100^m}-2\sin\frac{K}{100^m}+\sin\frac{K-D}{100^m}\bigg| - \)

A

\(\displaystyle \sin(a+b)-2\sin a +\sin(a-b) = \big(\sin(a+b)-\sin a\big)-\big(\sin a-\sin(a-b)\big) = \)

azonosságot felhasználva a következő alsó becslést kapjuk az \(\displaystyle m\)-edik tagra:

\(\displaystyle 50^m\bigg|\sin\frac{K+D}{100^m}-2\sin\frac{K}{100^m}+\sin\frac{K-D}{100^m}\bigg| = 50^m \cdot 4\sin^2\frac{D}{2\cdot 100^m}\sin\frac{K}{100^m} > \)

Szintén a (2) azonosság alapján

\(\displaystyle \sum_{n=m+1}^\infty 50^n\bigg|\sin\frac{K+D}{100^n}-2\sin\frac{K}{100^n}+\sin\frac{K-D}{100^n}\bigg| = \sum_{n=m+1}^\infty 50^n \cdot 4\sin^2\frac{D}{2\cdot 100^n}\left|\sin\frac{K}{100^n}\right| < \)

A kis indexű tagokban (amikor \(\displaystyle n<m\)) az összes szinusz értéket \(\displaystyle 1\)-gyel becsüljük:

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{m-1} 50^n\bigg|\sin\frac{K+D}{100^n}-2\sin\frac{K}{100^n}+\sin\frac{K-D}{100^n}\bigg| \le \sum_{n=1}^{m-1} 50^n \cdot 4 = \)

Az (1)-be beírva a (3-5) becsléseket,

\(\displaystyle |\Delta| > \frac{50^m}{5} - \frac{50^m}{100} - \frac{50^m}{10} - 4 = 50^m\cdot\frac{9}{100} - 4 > 0. \)

Tehát \(\displaystyle \Delta\ne0\), az \(\displaystyle x_1,\ldots,x_{2014}\) számok nem alkothatnak számtani szorozatot.

Statisztika:

2 dolgozat érkezett.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai