Az A. 631. feladat (2014. december)

A. 631. Legyen $\displaystyle k\ge1$, és legyenek $\displaystyle I_1,\ldots,I_k$ a $\displaystyle [0, 1]$ intervallum el nem fajuló részintervallumai. Bizonyítsuk, hogy

$\displaystyle \sum \frac1{|I_i\cup I_j|} \ge k^2,$

ahol az összegzés az olyan $\displaystyle (i, j)$ indexpárokra vonatkozik, ahol $\displaystyle I_i$ és $\displaystyle I_j$ nem diszjunkt.

Schweitzer Miklós Emlékverseny, 2014

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle f_i$ a következő valós függvény a $\displaystyle [0,1]$ intervallumon ($\displaystyle I_i$ indikátorfüggvénye normalizálva):

$\displaystyle f_i(x)=\left\{{{1\over|I_i|}\hbox{ ha }x\in I_i\atop0\hbox{ egyébként.}}\right.$

Itt $\displaystyle \int_0^1f_i(x)dx=1$, így

$\displaystyle \int_0^1\sum_if_i(x)dx=k.$

Emiatt

$\displaystyle \int_0^1\left(\sum_if_i(x)\right)^2dx\ge k^2$

(Cauchy-Schwarz). Beszorozva azt kapjuk, hogy

$\displaystyle \sum_{i,j}\int_0^1f_i(x)f_j(x)dx\ge k^2.$

Innen már csak azt kell észrevenni, hogy ha $\displaystyle I_i$ és $\displaystyle I_j$ diszjunktak, akkor $\displaystyle \int_0^1f_i(x)f_j(x)dx=0$, ha meg nem diszjunktak, akkor

$\displaystyle \int_0^1f_i(x)f_j(x)dx={|I_i\cap I_j|\over|I_i||I_j|}\le{1\over|I_i\cup I_j|}.$

Megjegyzés. A feladat Pach Jánostól és Tardos Gábortól származik.

A fenti megoldást a Schweitzer-versenybizottság bocsátotta rendelkezésünkre. A Schweitzer-verseny eredménye, feladatai és a feladatok megoldásai megtalálhatók a verseny honlapján: http://www.bolyai.hu/schweitzer.htm

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Williams Kada.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai