Az A. 632. feladat (2015. január)

A. 632. Legyen \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben legyen \(\displaystyle I\) és \(\displaystyle J\) a beírt kör, illetve az \(\displaystyle A\) csúccsal szemközti hozzáírt kör középpontja. Az \(\displaystyle ACD\) háromszögben legyen \(\displaystyle K\), illetve \(\displaystyle L\) a beírt, illetve az \(\displaystyle A\) csúccsal szemközti hozzáírt kör középpontja. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle IL\) és \(\displaystyle JK\) egyenesek, valamint a \(\displaystyle BCD\) szög felezője egy ponton mennek át.

Orosz feladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle IL\) és a \(\displaystyle JK\) szakasz metszéspontja. Mivel \(\displaystyle CI\) és \(\displaystyle CK\) a \(\displaystyle BCA\sphericalangle\), illetve az \(\displaystyle ACD\sphericalangle\) belső szögfelezője az állítás ekvivalens azzal, hogy \(\displaystyle ACK\sphericalangle=ICP\sphericalangle\).

Az \(\displaystyle ABC\), illetve \(\displaystyle ACD\) háromszög \(\displaystyle C\)-ből induló belső és külső szögfelezői merőlegesek, ezért \(\displaystyle JCI\sphericalangle=KCL\sphericalangle=90^\circ\).

Messe a \(\displaystyle CJ\) egyenes \(\displaystyle AL\)-t a \(\displaystyle J_1\) pontban, az \(\displaystyle IL\) egyenest pedig \(\displaystyle J_2\)-ben. Az \(\displaystyle C\)-n átmenő \(\displaystyle a=CA\), \(\displaystyle i=CI\), \(\displaystyle j=CJ\), \(\displaystyle k=CK\), \(\displaystyle \ell=CL\) és \(\displaystyle p=CP\) egyenesek, valamint az \(\displaystyle AL\) és \(\displaystyle IL\) egyeneseken levő pontnégyesek kettősviszonyára

\(\displaystyle (j\ell ip) = (J_2LIP) = (J_1LAK) = (LJ_1KA) = (\ell jka). \)

A \(\displaystyle j\) és \(\displaystyle \ell\), továbbá az \(\displaystyle i\) és \(\displaystyle k\) sugarak is szimetrikusak a \(\displaystyle JCL\) szög felezőjére, így a \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle a\) sugaraknak is szimmetrikusnak kell lennie ugyanerre a tengelyre. Így az \(\displaystyle ACK\sphericalangle\) és az \(\displaystyle ICP\sphericalangle\) egymás tükörképe.

Megjegyzés. Általában, ha az \(\displaystyle A,I,J\) pontok, illetve az \(\displaystyle A,K,L\) pontok egy egyenesre esnek, \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle IL\) és \(\displaystyle JK\) egyenesek metszéspontja, továbbá \(\displaystyle C\) olyan pont, ami nem esik ezekre az egyenesekre, akkor (irányított szögekkel) \(\displaystyle JCI\sphericalangle=KCL\sphericalangle\) akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle ICP\sphericalangle=ACK\sphericalangle\). (Fehér Zsombor észrevétele.)

Ennek egy jól ismert speciális esete, amikor az \(\displaystyle AIPK\) négyszög paralelogramma (ld. Coxeter-Greitzer: Az újra felfedezett geometria, 1.9.4. ábra)

Statisztika:

5 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Nagy-György Pál, Saranesh Prembabu, Williams Kada.

A KöMaL 2015. januári matematika feladatai